# Teorema de Clairaut (Schwarz): igualdade das derivadas mistas > Teorema de Clairaut (ou de Schwarz): se as derivadas parciais mistas f_xy e f_yx são contínuas, elas são iguais. Enunciado, contraexemplo e exemplos. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/teoremas/teorema-de-clairaut Atualizado: 2026-11-03 $$ f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b) $$ ## Visão geral - **Também chamado:** Teorema de Schwarz, simetria das derivadas de segunda ordem - **Hipóteses:** $f$ está definida em um disco em torno de $(a, b)$, e $f_{xy}$ e $f_{yx}$ são ambas contínuas nesse disco - **Conclusão:** $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$ - **Na prática:** Derive na ordem que for mais fácil - **Usado para:** Verificar se um campo vetorial é conservativo, matriz hessiana - **Disciplina:** Cálculo 3 ## Pontos principais - Se as duas derivadas parciais mistas são contínuas perto de um ponto, a ordem de derivação não importa ali. - Polinômios, exponenciais, senos e cossenos e suas combinações satisfazem as hipóteses onde estão definidos. - Sem continuidade, as derivadas mistas podem ser diferentes, como mostra o contraexemplo clássico na origem. - Clairaut dá um teste rápido: um campo $\langle P, Q \rangle$ com $P_y \ne Q_x$ não pode ser um gradiente. O **teorema de Clairaut** (também conhecido como teorema de Schwarz) diz que, para uma função de duas variáveis bem comportada, a ordem em que você calcula as derivadas parciais mistas não importa: derivar em $x$ e depois em $y$ dá o mesmo resultado que derivar em $y$ e depois em $x$. É por isso que uma função tem uma única matriz hessiana, e não duas. ## Enunciado do teorema de Clairaut Suponha que $f(x, y)$ esteja definida em um disco aberto $D$ que contém o ponto $(a, b)$. Se as derivadas parciais mistas $f_{xy}$ e $f_{yx}$ são ambas **contínuas** em $D$, então $$f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$$ Notação: $f_{xy} = (f_x)_y$ significa derivar primeiro em relação a $x$ e depois em relação a $y$. Na forma de Leibniz, $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$. O teorema se estende a mais variáveis e ordens maiores: com derivadas parciais contínuas, só importa quantas vezes cada variável aparece. ## O que o teorema de Clairaut significa $f_{xy}$ mede como a inclinação na direção $x$ da superfície muda quando você se move na direção $y$. $f_{yx}$ mede como a inclinação na direção $y$ muda quando você se move na direção $x$. Clairaut diz que essas duas "torções" da superfície são o mesmo número. Tome $f(x, y) = x^2 y$. Cortar a superfície com $y$ fixo gera as curvas $y = 1$: $x^2$, $y = 2$: $2x^2$, $y = 3$: $3x^2$. ```graph title: 'Teorema de Clairaut: cortes de f(x, y) = x²y em y = 1, 2, 3' caption: 'Em $x = 1$ os cortes têm inclinações em $x$ iguais a $2$, $4$ e $6$, então $f_x$ cresce $2$ por unidade de $y$: $f_{xy}(1, y) = 2$. Calcular primeiro $f_y = x^2$ e depois $f_{yx} = 2x = 2$ dá o mesmo número.' x: [-2, 2] y: [-0.5, 8] functions: - expr: x^2 label: corte y = 1 - expr: 2x^2 label: corte y = 2 - expr: 3x^2 label: corte y = 3 points: - [1, 1, 'inclinação 2'] - [1, 2, 'inclinação 4'] - [1, 3, 'inclinação 6'] vertical: - {x: 1, label: 'x = 1'} ``` ## Por que a continuidade importa: o contraexemplo clássico Defina $$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} & (x, y) \ne (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$ Ao longo dos eixos, um cálculo direto pela definição de limite dá $f_x(0, y) = -y$ e $f_y(x, 0) = x$. Portanto $$f_{xy}(0, 0) = \frac{\partial}{\partial y}(-y) = -1, \qquad f_{yx}(0, 0) = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1$$ As derivadas mistas são diferentes. Isso não contradiz o teorema de Clairaut: $f_{xy}$ e $f_{yx}$ não são contínuas na origem, então a hipótese falha. ## Exemplos resolvidos **Exemplo 1: verifique Clairaut para $f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy)$.** **Passo 1.** Derivadas parciais de primeira ordem: $$f_x = 3x^2 y^2 + y\cos(xy), \qquad f_y = 2x^3 y + x\cos(xy)$$ **Passo 2.** Derive $f_x$ em relação a $y$ (regra do produto em $y\cos(xy)$): $$f_{xy} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy)$$ **Passo 3.** Derive $f_y$ em relação a $x$ (regra do produto em $x\cos(xy)$): $$f_{yx} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy)$$ Elas coincidem, como Clairaut prevê para uma função construída com polinômios e senos. **Exemplo 2: escolha a ordem mais fácil.** Encontre $f_{xy}$ para $f(x, y) = y e^{x^2} + x\ln(1 + y^4)$, em qualquer $(x, y)$. Derivar primeiro em $x$ significa aplicar a regra da cadeia em $e^{x^2}$ e depois em $\ln(1 + y^4)$. Em vez disso, use $f_{xy} = f_{yx}$: $$f_y = e^{x^2} + \frac{4xy^3}{1 + y^4}, \qquad f_{yx} = 2xe^{x^2} + \frac{4y^3}{1 + y^4}$$ Todas as derivadas parciais são contínuas em todo o plano, então $f_{xy} = 2xe^{x^2} + \frac{4y^3}{1 + y^4}$. **Exemplo 3: um teste para campos conservativos.** Se $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle = \nabla f$, então $P = f_x$ e $Q = f_y$, e Clairaut obriga $P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x$. - $\mathbf{F} = \langle 2xy,\; x^2 + 3y^2 \rangle$: $P_y = 2x = Q_x$, compatível com um gradiente, e de fato $\mathbf{F} = \nabla(x^2 y + y^3)$. - $\mathbf{F} = \langle y,\; -x \rangle$: $P_y = 1$, mas $Q_x = -1$, então $\mathbf{F}$ não é o gradiente de nenhuma função. ## Erros comuns 1. **Ler a notação de Leibniz na ordem errada.** $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ significa derivar primeiro em $x$. Quando Clairaut se aplica a ordem não importa, mas no contraexemplo ela importa. 2. **Supor a igualdade sem continuidade.** Funções definidas por partes, com um valor separado em um ponto, são justamente onde Clairaut pode falhar. 3. **Achar que $P_y = Q_x$ sozinho prova que o campo é conservativo.** A condição é necessária; ela só é suficiente em uma região simplesmente conexa, uma sutileza ligada ao [teorema de Green](/theorems/greens-theorem). ## Teoremas e guias relacionados Para calcular derivadas parciais, veja [derivadas parciais](/blog/partial-derivatives). O teorema de Clairaut está por trás do teste do rotacional para campos conservativos, usado com o [teorema de Green](/theorems/greens-theorem) e o [teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem), e torna simétrica a [expansão de Taylor](/theorems/taylors-theorem) em várias variáveis. ## Perguntas frequentes ### O que diz o teorema de Clairaut? Se $f(x, y)$ está definida em um disco que contém $(a, b)$ e as derivadas parciais mistas $f_{xy}$ e $f_{yx}$ são ambas contínuas nesse disco, então $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$. ### As derivadas parciais mistas são sempre iguais? Não. Elas são iguais quando são contínuas, o que inclui quase todas as funções que aparecem no curso. A função $f = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$ com $f(0, 0) = 0$ tem $f_{xy}(0, 0) = -1$, mas $f_{yx}(0, 0) = 1$. ### O que significa f_xy? Significa derivar primeiro em relação a $x$ e depois em relação a $y$: $f_{xy} = (f_x)_y$. Na notação de Leibniz isso é $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$, com as variáveis lidas da direita para a esquerda. ### O teorema de Clairaut vale para derivadas de terceira ordem? Sim. Se todas as derivadas parciais envolvidas são contínuas, qualquer derivada mista depende apenas de quantas vezes você deriva em relação a cada variável, e não da ordem. Por exemplo, $f_{xyy} = f_{yxy} = f_{yyx}$.