# Teorema de Fermat para extremos locais: enunciado e exemplos

> Teorema de Fermat: se f tem máximo ou mínimo local em c e f'(c) existe, então f'(c) = 0. Enunciado, gráfico, por que a recíproca falha e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/teoremas/teorema-de-fermat
Atualizado: 2026-11-03

$$ f'(c) = 0 $$

## Visão geral

- **Também chamado:** Teorema de Fermat dos pontos estacionários, teorema do extremo interior
- **Hipóteses:** $f$ tem um máximo ou mínimo local em um ponto interior $c$, e $f'(c)$ existe
- **Conclusão:** $f'(c) = 0$
- **Recíproca:** Falsa: $f'(c) = 0$ não garante um extremo, como mostra $x^3$ em $0$
- **Usado para:** Encontrar pontos críticos, o método do intervalo fechado, otimização
- **Disciplina:** Cálculo 1

## Pontos principais

- Em um máximo ou mínimo local onde a derivada existe, a reta tangente é horizontal.
- Logo, todo extremo local está em um ponto crítico: $f'(c) = 0$ ou $f'(c)$ não existe.
- A recíproca é falsa. Um ponto crítico pode não ser nem máximo nem mínimo, como $x = 0$ para $x^3$.
- O teorema trata de pontos interiores. Extremos nas extremidades de um intervalo não precisam ter inclinação zero.

O **teorema de Fermat** (sobre extremos locais) diz que, no alto de um morro ou no fundo de um vale de um gráfico suave, a reta tangente é horizontal. É o teorema por trás do movimento mais comum do cálculo: para encontrar um máximo ou mínimo, iguale a derivada a zero.

## Enunciado do teorema de Fermat

Suponha que

1. $f$ tenha um **máximo local ou mínimo local** em $c$, ou seja, $f(c) \ge f(x)$ (ou $f(c) \le f(x)$) para todo $x$ em algum intervalo aberto em torno de $c$, e
2. $f'(c)$ **exista**.

Então

$$f'(c) = 0$$

Como a definição de extremo local usa um intervalo aberto em torno de $c$, o ponto $c$ precisa ser um ponto interior do domínio, e não uma extremidade.

## O que o teorema de Fermat significa

Em um máximo local, a função sobe até $c$ e desce depois dele. Logo à direita de $c$, o quociente de diferenças $\frac{f(c + h) - f(c)}{h}$ é $\le 0$, e logo à esquerda ele é $\ge 0$. Se a derivada existe, os dois limites laterais são o mesmo número, e o único número que é ao mesmo tempo $\le 0$ e $\ge 0$ é $0$.

```graph
title: 'Teorema de Fermat: tangentes horizontais no máximo e no mínimo locais de y = x³ − 3x'
caption: 'O máximo local em $x = -1$ e o mínimo local em $x = 1$ têm retas tangentes horizontais, então $f''(-1) = f''(1) = 0$.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: x^3 - 3x
    label: y = x³ − 3x
  - expr: '2'
    label: tangentes horizontais
    dashed: true
    domain: [-2, 0]
  - expr: '-2'
    dashed: true
    domain: [0, 2]
points:
  - [-1, 2, 'máx local (−1, 2)']
  - [1, -2, 'mín local (1, −2)']
```

## Por que cada hipótese importa, e por que a recíproca falha

**A derivada precisa existir.** $f(x) = |x|$ tem um mínimo em $x = 0$, mas $f'(0)$ não existe por causa do bico. O teorema de Fermat não diz nada ali. É por isso que os pontos críticos incluem os pontos onde $f'$ não está definida.

**O ponto precisa ser interior.** Em $[0, 1]$, $f(x) = x$ tem seu máximo na extremidade $x = 1$, e mesmo assim $f'(1) = 1 \ne 0$. Extremos nas extremidades não são cobertos pelo teorema, por isso o método do intervalo fechado verifica as extremidades separadamente.

**A recíproca é falsa.** $f(x) = x^3$ tem $f'(0) = 0$, mas $x^3$ é negativa à esquerda de $0$ e positiva à direita, então $0$ não é um extremo local. Uma tangente horizontal torna $c$ um **candidato**, nada mais. Você ainda precisa do teste da primeira ou da segunda derivada.

## Pontos críticos

O teorema de Fermat justifica esta definição: um **ponto crítico** de $f$ é um número $c$ do seu domínio em que $f'(c) = 0$ ou $f'(c)$ não existe. Em outras palavras, todo extremo local de $f$ ocorre em um ponto crítico.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: $f(x) = x^4 - 4x^3$.**

**Passo 1.** $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$.

**Passo 2.** Pontos críticos: $x = 0$ e $x = 3$. Pelo teorema de Fermat, esses são os únicos extremos locais possíveis.

**Passo 3.** Classifique. $f'(x) < 0$ para $x < 0$ e para $0 < x < 3$, e $f'(x) > 0$ para $x > 3$. A função continua decrescendo ao passar por $x = 0$, então $x = 0$ não é um extremo, exatamente como em $x^3$. Em $x = 3$ ela passa de decrescente para crescente, então $f(3) = 81 - 108 = -27$ é um mínimo local.

**Exemplo 2: um ponto crítico onde $f'$ não existe.** Para $f(x) = x^{2/3}$,

$$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$

que nunca vale $0$ e não está definida em $x = 0$. Então $x = 0$ é o único ponto crítico e, como $f(x) \ge 0 = f(0)$ para todo $x$, é um mínimo. Resolver apenas $f'(x) = 0$ deixaria esse ponto de fora.

**Exemplo 3: otimização.** Dois números somam $10$. Maximize o produto $P(x) = x(10 - x)$. Como o máximo está em um ponto interior e $P$ é derivável, o teorema de Fermat diz que $P'(x) = 10 - 2x = 0$, então $x = 5$ e o produto máximo é $25$. Veja [problemas de otimização](/blog/optimization-problems) para mais exemplos.

## Erros comuns

1. **Supor que $f'(c) = 0$ significa um extremo.** Sempre classifique os pontos críticos com um quadro de sinais ou com a segunda derivada.
2. **Ignorar pontos onde $f'$ não está definida.** Bicos e cúspides também são pontos críticos.
3. **Esquecer as extremidades.** Em um intervalo fechado, os extremos absolutos podem estar nas extremidades, onde o teorema de Fermat não se aplica.

## Teoremas relacionados

O teorema de Fermat se junta ao [Teorema do Valor Extremo](/theorems/extreme-value-theorem) para formar o método do intervalo fechado, e é o passo principal na demonstração do [teorema de Rolle](/theorems/rolles-theorem) e, em seguida, do [Teorema do Valor Médio](/theorems/mean-value-theorem). Para classificar pontos críticos e esboçar gráficos, leia [esboço de gráficos com derivadas](/blog/curve-sketching-with-derivatives).

## Perguntas frequentes

### O que é o teorema de Fermat no cálculo?

Ele diz que, se $f$ tem um máximo local ou um mínimo local em $c$ e $f$ é derivável em $c$, então $f'(c) = 0$. É por isso que encontramos extremos igualando a derivada a zero.

### A recíproca do teorema de Fermat é verdadeira?

Não. $f(x) = x^3$ tem $f'(0) = 0$, mas $x = 0$ não é máximo nem mínimo local, porque a função cresce dos dois lados. Uma derivada nula só torna $c$ um candidato.

### É a mesma coisa que o último teorema de Fermat?

Não. O último teorema de Fermat é um resultado da teoria dos números sobre a equação $x^n + y^n = z^n$. No cálculo, o teorema de Fermat se refere ao resultado sobre extremos locais, $f'(c) = 0$.

### O que é um ponto crítico?

Um ponto crítico de $f$ é um número $c$ do domínio em que $f'(c) = 0$ ou $f'(c)$ não existe. O teorema de Fermat diz que todo extremo local acontece em um ponto crítico.