# Teorema de Green: enunciado, orientação e exemplos resolvidos > O teorema de Green transforma uma integral de linha em uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região interior. Enunciado, hipóteses, área e exemplos. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/teoremas/teorema-de-green Atualizado: 2026-11-03 $$ \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA $$ ## Visão geral - **Hipóteses:** $C$ é uma curva fechada simples, suave por partes e orientada positivamente, que limita uma região $D$, e $P$, $Q$ têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém $D$ - **Orientação positiva:** Sentido anti-horário, de modo que a região fique à sua esquerda - **Integrando:** $Q_x - P_y$, o rotacional escalar de $\langle P, Q \rangle$ - **Fórmula da área:** $A = \frac{1}{2}\oint_C x\,dy - y\,dx$ - **Generaliza para:** O teorema de Stokes em três dimensões - **Disciplina:** Cálculo 3 ## Pontos principais - O teorema de Green converte uma integral de linha fechada em uma integral dupla de $Q_x - P_y$ sobre a região delimitada. - A curva precisa ser percorrida no sentido anti-horário; no sentido horário o sinal se inverte. - $P$ e $Q$ precisam ter derivadas parciais contínuas em toda a região, inclusive em eventuais buracos. Uma singularidade no interior quebra o teorema. - Escolher $Q_x - P_y = 1$ transforma uma integral de linha em uma fórmula de área. O **teorema de Green** relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com uma integral dupla sobre a região que ela delimita. Ele diz que a circulação total ao longo da fronteira é igual à soma de todas as pequenas circulações no interior. ## Enunciado do teorema de Green Sejam 1. $C$ uma curva **fechada simples**, **suave por partes** e **orientada positivamente** (sentido anti-horário) no plano, 2. $D$ a região limitada por $C$, e 3. $P(x, y)$ e $Q(x, y)$ com **derivadas parciais contínuas** em uma região aberta que contém $D$. Então $$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$$ Na forma vetorial, com $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, o lado esquerdo é a circulação $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ e o integrando do lado direito é o rotacional escalar $Q_x - P_y$. ## O que o teorema de Green significa Divida $D$ em quadradinhos e some a circulação de $\mathbf{F}$ em volta de cada um. Cada aresta interna é percorrida por dois quadradinhos vizinhos em sentidos opostos, então essas contribuições se cancelam. Só a fronteira externa sobrevive. Por outro lado, a circulação em volta de um quadradinho é aproximadamente $(Q_x - P_y)$ vezes sua área. Somar das duas maneiras dá o teorema de Green. ```graph title: 'Região do teorema de Green: entre y = x² e y = x para 0 ≤ x ≤ 1' caption: 'A fronteira $C$ é percorrida no sentido anti-horário: pela parábola $y = x^2$ de $(0, 0)$ até $(1, 1)$ e depois de volta pela reta $y = x$. A região $D$ fica à esquerda.' x: [-0.2, 1.3] y: [-0.2, 1.3] functions: - expr: x label: y = x (em cima, percorrida da direita para a esquerda) domain: [0, 1] - expr: x^2 label: y = x² (embaixo, percorrida da esquerda para a direita) domain: [0, 1] shade: {expr: x, from: 0, to: 1, below: x^2} points: - [0, 0, '(0, 0)'] - [1, 1, '(1, 1)'] ``` ## Por que cada hipótese importa **Orientação.** Percorrer $C$ no sentido horário inverte o sinal da integral de linha, enquanto a integral dupla não muda. Sempre confira o sentido. **Continuidade em todo o interior.** O campo de vórtice $$\mathbf{F} = \left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2},\; \frac{x}{x^2 + y^2} \right\rangle$$ tem $Q_x - P_y = 0$ em todos os pontos exceto a origem, onde não está definido. Na circunferência unitária $x = \cos t$, $y = \sin t$, a integral de linha é $\int_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t)\,dt = 2\pi$, e não $0$. O teorema de Green não se aplica porque a origem, dentro de $D$, é um ponto em que $P$ e $Q$ nem sequer estão definidas. **Curva fechada.** Para uma curva que não se fecha, não existe região delimitada, então o teorema não diz nada. ## Exemplos resolvidos **Exemplo 1: calcule $\oint_C xy\,dx + x^2\,dy$ em volta da região do gráfico.** **Passo 1.** $P = xy$ e $Q = x^2$, então $Q_x - P_y = 2x - x = x$. **Passo 2.** A região é $x^2 \le y \le x$ para $0 \le x \le 1$: $$\iint_D x\,dA = \int_0^1 \int_{x^2}^{x} x\,dy\,dx = \int_0^1 (x^2 - x^3)\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$ **Verificação direta.** Ao longo de $y = x^2$ ($x = t$, $0 \to 1$), o integrando é $t^3\,dt + t^2(2t\,dt) = 3t^3\,dt$, que contribui com $\frac{3}{4}$. Ao longo de $y = x$, voltando de $(1, 1)$ para $(0, 0)$, ele é $2t^2\,dt$ com $t$ de $1$ a $0$, que contribui com $-\frac{2}{3}$. O total é $\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$. Mesma resposta, mais trabalho. **Exemplo 2: área de uma elipse.** Escolha $P = -\frac{y}{2}$ e $Q = \frac{x}{2}$, de modo que $Q_x - P_y = 1$ e a integral dupla seja a área: $$A = \frac{1}{2}\oint_C x\,dy - y\,dx$$ Para a elipse $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, $0 \le t \le 2\pi$: $x\,dy - y\,dx = (ab\cos^2 t + ab\sin^2 t)\,dt = ab\,dt$. Logo $A = \frac{1}{2}\cdot 2\pi ab = \pi ab$. **Exemplo 3: um campo complicado, uma resposta fácil.** Calcule $\oint_C (x^2 - y)\,dx + (x + y^3)\,dy$ na circunferência unitária, no sentido anti-horário. Aqui $Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2$, então a integral é $2 \cdot \text{area} = 2\pi$, ou seja, duas vezes a área do disco. ## Erros comuns 1. **Trocar a ordem no integrando.** É $Q_x - P_y$, e não $P_y - Q_x$ ou $P_x - Q_y$. 2. **Ignorar a orientação.** Uma curva percorrida no sentido horário dá o oposto da integral dupla. 3. **Usar o teorema através de uma singularidade.** Verifique se $P$ e $Q$ são suaves em toda a região $D$, e não apenas sobre $C$. ## Teoremas e guias relacionados O teorema de Green é o caso plano do [teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem), e sua forma de fluxo é o [teorema da divergência](/theorems/divergence-theorem) em duas dimensões. Como $Q_x - P_y = 0$ para campos gradientes, pelo [teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem), campos conservativos têm circulação nula. Para as integrais duplas do lado direito, veja [integrais duplas](/blog/double-integrals). ## Perguntas frequentes ### O que diz o teorema de Green? Para uma curva fechada simples $C$, suave por partes e orientada positivamente, que limita uma região $D$, e $P$, $Q$ com derivadas parciais contínuas perto de $D$, vale $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA$. ### O que é orientação positiva no teorema de Green? É o sentido anti-horário em volta da região ou, de modo mais geral, o sentido em que a região fica à sua esquerda enquanto você caminha pela curva. Percorrer no sentido horário multiplica a integral de linha por $-1$. ### Quando devo usar o teorema de Green? Use-o quando uma integral de linha em uma curva fechada for trabalhosa, principalmente se a curva tiver vários pedaços, e $Q_x - P_y$ for simples. Use-o também ao contrário, para calcular áreas com uma integral de linha. ### Por que o teorema de Green falha para o campo de vórtice em torno da origem? O campo $\left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right\rangle$ tem $Q_x - P_y = 0$ fora da origem, mas não está definido na origem. Se a curva envolve a origem, a hipótese falha e, de fato, a integral de linha na circunferência unitária vale $2\pi$, e não $0$.