# Teorema de Rolle: enunciado, hipóteses e exemplos resolvidos

> Teorema de Rolle: se f é contínua em [a, b], diferenciável em (a, b) e f(a) = f(b), então f'(c) = 0 para algum c. Gráfico, contraexemplos e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/teoremas/teorema-de-rolle
Atualizado: 2026-11-03

$$ f'(c) = 0 \text{ para algum } c \in (a, b) $$

## Visão geral

- **Hipóteses:** $f$ contínua em $[a, b]$, diferenciável em $(a, b)$ e $f(a) = f(b)$
- **Conclusão:** Existe um $c$ em $(a, b)$ com $f'(c) = 0$
- **Significado geométrico:** Em algum ponto entre duas alturas iguais, a reta tangente é horizontal
- **Generalização:** O Teorema do Valor Médio
- **Usado para:** Provar que uma equação tem no máximo uma raiz, demonstrar o TVM
- **Disciplina:** Cálculo 1

## Pontos principais

- Se uma função suave tem o mesmo valor nas duas extremidades de um intervalo, sua derivada se anula em algum ponto entre elas.
- As três hipóteses são necessárias: continuidade em $[a, b]$, diferenciabilidade em $(a, b)$ e $f(a) = f(b)$.
- O teorema de Rolle é o caso particular do Teorema do Valor Médio em que a reta secante é horizontal.
- Combinado com o TVI, ele prova que uma equação tem exatamente uma solução.

O **teorema de Rolle** diz que, se uma função suave começa e termina na mesma altura, então em algum ponto entre elas o gráfico tem uma reta tangente horizontal. É o mais simples dos teoremas do valor médio e o passo usado para demonstrar os outros.

## Enunciado do teorema de Rolle

Seja $f$ uma função que satisfaz as três hipóteses:

1. $f$ é **contínua** no intervalo fechado $[a, b]$;
2. $f$ é **diferenciável** no intervalo aberto $(a, b)$;
3. $f(a) = f(b)$.

Então existe pelo menos um número $c$ em $(a, b)$ tal que

$$f'(c) = 0$$

## O que o teorema de Rolle significa

Jogue uma bola para cima e pegue-a de volta na mesma altura. Em algum momento entre o lançamento e a pegada, sua velocidade vertical foi exatamente zero: no topo do arco. O teorema de Rolle é essa observação para qualquer função suave. Se o gráfico sobe, ele precisa virar para voltar a descer, e no ponto de virada a inclinação é zero. Se a função é constante, a inclinação é zero em todo lugar.

```graph
title: 'Teorema de Rolle: y = x³ − 4x em [−2, 2] tem duas tangentes horizontais'
caption: 'Como $f(-2) = f(2) = 0$, o teorema de Rolle garante uma tangente horizontal em $(-2, 2)$. Aqui há duas, em $x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.15$.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4.5, 4.5]
functions:
  - expr: x^3 - 4x
    label: y = x³ − 4x
  - expr: '3.079'
    label: tangentes horizontais
    dashed: true
    domain: [-1.9, -0.4]
  - expr: '-3.079'
    dashed: true
    domain: [0.4, 1.9]
points:
  - [-2, 0, 'f(−2) = 0']
  - [2, 0, 'f(2) = 0']
  - [-1.1547, 3.079, 'c ≈ −1.15']
  - [1.1547, -3.079, 'c ≈ 1.15']
```

## Por que cada hipótese importa

**Diferenciabilidade.** $f(x) = |x|$ em $[-1, 1]$ é contínua e $f(-1) = f(1) = 1$, mas o gráfico é um V pontudo. Sua derivada vale $-1$ à esquerda e $1$ à direita e nunca é $0$. O bico em $x = 0$, onde $f$ não é diferenciável, é o que quebra o teorema.

**Continuidade nas extremidades.** Seja $f(x) = x$ para $0 \le x < 1$ e $f(1) = 0$. Então $f(0) = f(1) = 0$ e $f$ é diferenciável em $(0, 1)$, mas $f'(x) = 1$ em todo o interior. O salto em $x = 1$ quebra a continuidade em $[a, b]$.

**Valores iguais nas extremidades.** $f(x) = x$ em $[0, 1]$ é perfeitamente suave, mas $f(0) \ne f(1)$ e $f'(x) = 1$ nunca é zero. Com extremidades em alturas diferentes, você precisa do [Teorema do Valor Médio](/theorems/mean-value-theorem).

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: encontre o $c$ para $f(x) = x^2 - 4x + 3$ em $[1, 3]$.**

**Passo 1.** Verifique as hipóteses. $f$ é um polinômio, então é contínua e diferenciável em toda parte. $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ e $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$, logo $f(1) = f(3)$.

**Passo 2.** Resolva $f'(c) = 2c - 4 = 0$, o que dá $c = 2$, que está em $(1, 3)$. O vértice da parábola é o ponto garantido.

**Exemplo 2: $f(x) = x^3 - 4x$ em $[-2, 2]$.**

$f(-2) = -8 + 8 = 0$ e $f(2) = 8 - 8 = 0$, e $f$ é um polinômio. Resolva

$$f'(c) = 3c^2 - 4 = 0 \implies c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.155$$

Os dois valores estão em $(-2, 2)$, então essa função tem dois pontos onde vale a conclusão de Rolle. O teorema prometia pelo menos um.

**Exemplo 3: prove que $x^3 + x - 1 = 0$ tem exatamente uma solução real.**

**Passo 1 (pelo menos uma).** $f(x) = x^3 + x - 1$ é contínua, $f(0) = -1 < 0$ e $f(1) = 1 > 0$. Pelo [Teorema do Valor Intermediário](/theorems/intermediate-value-theorem), existe uma raiz em $(0, 1)$.

**Passo 2 (no máximo uma).** Suponha que houvesse duas raízes $r_1 < r_2$. Então $f(r_1) = f(r_2) = 0$, e o teorema de Rolle daria um $c$ entre elas com $f'(c) = 0$. Mas $f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1$ para todo $x$, então $f'$ nunca se anula. Essa contradição mostra que não pode haver duas raízes.

Logo a equação tem exatamente uma solução real. Esse argumento TVI mais Rolle é o uso mais comum do teorema em provas.

## Como o teorema de Rolle é demonstrado

Pelo [Teorema do Valor Extremo](/theorems/extreme-value-theorem), $f$ tem um máximo e um mínimo em $[a, b]$. Se os dois ocorrem nas extremidades, então, como $f(a) = f(b)$, a função é constante e $f' = 0$ em toda parte. Caso contrário, um deles ocorre em um ponto interior $c$, e o [teorema de Fermat](/theorems/fermats-theorem) dá $f'(c) = 0$.

## Erros comuns

1. **Não verificar as hipóteses.** Provas muitas vezes perguntam se o teorema de Rolle se aplica. Verifique explicitamente a continuidade, a diferenciabilidade e $f(a) = f(b)$.
2. **Dar um $c$ fora de $(a, b)$.** Uma solução de $f'(c) = 0$ fora do intervalo aberto não conta.
3. **Achar que o teorema encontra todos os pontos críticos.** Ele só garante pelo menos um entre $a$ e $b$.

## Teoremas relacionados

Incline a figura para que as extremidades fiquem em alturas diferentes e você obtém o [Teorema do Valor Médio](/theorems/mean-value-theorem). Para um tratamento completo com aplicações, leia o [guia do Teorema do Valor Médio](/blog/mean-value-theorem), e veja [esboço de gráficos com derivadas](/blog/curve-sketching-with-derivatives) para saber onde as tangentes horizontais importam.

## Perguntas frequentes

### Quais são as três hipóteses do teorema de Rolle?

A função precisa ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$, diferenciável no intervalo aberto $(a, b)$ e ter valores iguais nas extremidades, $f(a) = f(b)$. Se as três valem, $f'(c) = 0$ para algum $c$ em $(a, b)$.

### Qual a diferença entre o teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio?

O teorema de Rolle exige $f(a) = f(b)$ e conclui $f'(c) = 0$. O Teorema do Valor Médio dispensa essa exigência e conclui $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. O teorema de Rolle é o caso particular em que essa inclinação é zero.

### Pode haver mais de um valor de c no teorema de Rolle?

Sim. O teorema garante pelo menos um. Por exemplo, $f(x) = x^3 - 4x$ em $[-2, 2]$ tem dois, $c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$.

### Por que o teorema de Rolle falha para |x| em [-1, 1]?

Porque $|x|$ não é diferenciável em $x = 0$. Os valores nas extremidades são iguais, mas a derivada vale $-1$ ou $1$ em todo ponto onde existe, nunca $0$.