# Teorema de Stokes: enunciado, orientação e exemplos resolvidos > Teorema de Stokes: a circulação de um campo ao longo de uma curva fechada é igual ao fluxo do rotacional por qualquer superfície que ela limita. Com exemplos. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/teoremas/teorema-de-stokes Atualizado: 2026-11-03 $$ \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} $$ ## Visão geral - **Hipóteses:** $S$ é uma superfície orientada e suave por partes, limitada por uma curva $C$ simples, fechada e suave por partes com orientação positiva, e $\mathbf{F}$ tem derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém $S$ - **Orientação positiva:** Regra da mão direita: com o polegar ao longo da normal de $S$, os dedos se curvam no sentido de $C$ - **Rotacional:** $\nabla\times\mathbf{F} = \langle R_y - Q_z,\; P_z - R_x,\; Q_x - P_y \rangle$ - **Consequência principal:** O fluxo do rotacional depende só da curva de bordo, não da superfície escolhida - **Caso particular:** O teorema de Green, quando $S$ é uma região plana no plano $xy$ - **Disciplina:** Cálculo 3 ## Pontos principais - A circulação de $\mathbf{F}$ ao longo de uma curva fechada é igual ao fluxo de $\nabla\times\mathbf{F}$ através de qualquer superfície limitada por essa curva. - As orientações precisam combinar pela regra da mão direita. Invertê-las troca o sinal. - Como só o bordo importa, você pode trocar uma superfície curva por uma plana com a mesma borda. - $\mathbf{F}$ precisa ser suave em toda a superfície. Uma reta singular que atravessa a superfície quebra o teorema. O **teorema de Stokes** diz que a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada no espaço é igual ao rotacional total que atravessa qualquer superfície que tenha essa curva como borda. É o [teorema de Green](/theorems/greens-theorem) levado do plano para as superfícies curvas. ## Enunciado do teorema de Stokes Sejam 1. $S$ uma **superfície orientada e suave por partes** com normal unitária $\mathbf{n}$, 2. $C$ o bordo de $S$, uma **curva simples, fechada e suave por partes** com **orientação positiva** (regra da mão direita em relação a $\mathbf{n}$), e 3. $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ com **derivadas parciais contínuas** em uma região aberta que contém $S$. Então $$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$$ onde $\nabla\times\mathbf{F} = \langle R_y - Q_z,\; P_z - R_x,\; Q_x - P_y \rangle$ e $d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS$. ## O que o teorema de Stokes significa O rotacional em um ponto mede o quanto o campo gira em torno desse ponto, como uma pequena roda de pás. Cubra a superfície com pequenos pedaços e some o giro em torno de cada pedaço. Em cada aresta compartilhada, pedaços vizinhos percorrem sentidos opostos e se cancelam, então sobra apenas o giro ao longo da borda externa, a circulação ao longo de $C$. Uma consequência marcante: a superfície não importa, só o seu bordo. Um hemisfério e um disco plano com a mesma borda circular têm o mesmo fluxo do rotacional. ## Por que cada hipótese importa **Orientações compatíveis.** Se $C$ é percorrida no sentido contrário ao da regra da mão direita, a integral de linha troca de sinal, mas a integral de superfície não, então a igualdade falha por um fator $-1$. **Suavidade na superfície.** O campo $\mathbf{F} = \left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}, 0 \right\rangle$ tem $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$ onde está definido, mas sua circulação ao longo do círculo unitário no plano $xy$ é $2\pi$. Toda superfície limitada por esse círculo precisa cruzar o eixo $z$, onde $\mathbf{F}$ não está definido, então o teorema de Stokes não se aplica. **Uma curva de bordo.** Uma superfície fechada, como uma esfera, não tem bordo, então $\iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = 0$ para ela. Isso é coerente com o [teorema da divergência](/theorems/divergence-theorem), já que $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0$. ## Exemplos resolvidos **Exemplo 1: um hemisfério versus seu bordo.** Seja $\mathbf{F} = \langle -y, x, z \rangle$ e seja $S$ a metade superior da esfera unitária com normal para cima, de modo que $C$ é o círculo unitário no plano $xy$, percorrido no sentido anti-horário visto de cima. **Integral de linha.** Com $\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, 0 \rangle$: $$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} \left((-\sin t)(-\sin t) + (\cos t)(\cos t)\right) dt = \int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi$$ **Integral de superfície.** $\nabla\times\mathbf{F} = \langle 0 - 0,\; 0 - 0,\; 1 - (-1) \rangle = \langle 0, 0, 2 \rangle$. Como só o bordo importa, troque o hemisfério pelo disco unitário plano com normal $\mathbf{k}$: o fluxo é $2 \cdot \pi = 2\pi$. Os dois lados coincidem. **Exemplo 2: um triângulo no espaço.** Calcule $\oint_C z\,dx + x\,dy + y\,dz$, onde $C$ é o triângulo de vértices $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$, $(0, 0, 1)$, percorrido no sentido anti-horário visto de cima. **Passo 1.** Para $\mathbf{F} = \langle z, x, y \rangle$, $\nabla\times\mathbf{F} = \langle 1 - 0,\; 1 - 0,\; 1 - 0 \rangle = \langle 1, 1, 1 \rangle$. **Passo 2.** Tome $S$ como o triângulo plano sobre o plano $z = 1 - x - y$ com normal para cima. Para um gráfico $z = g(x, y)$, $d\mathbf{S} = \langle -g_x, -g_y, 1 \rangle\,dA = \langle 1, 1, 1 \rangle\,dA$. **Passo 3.** $(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\langle 1, 1, 1 \rangle = 3$, integrado sobre a projeção, o triângulo $x, y \ge 0$, $x + y \le 1$ de área $\frac{1}{2}$: $$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 3\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ Uma única integral de superfície substitui três integrais de linha ao longo das arestas. **Exemplo 3: campos conservativos.** Se $\mathbf{F} = \nabla f$ com $f$ tendo derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$ pelo [teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem), e o teorema de Stokes dá $\oint_C \nabla f\cdot d\mathbf{r} = 0$ para toda curva fechada que limita uma superfície. Campos gradientes não realizam trabalho líquido ao longo de laços fechados. ## Erros comuns 1. **Orientações incompatíveis.** Decida primeiro a normal e depois oriente $C$ pela regra da mão direita. 2. **Calcular o rotacional errado.** Escreva o determinante com cuidado; a componente do meio é $P_z - R_x$, não $R_x - P_z$. 3. **Usar a superfície difícil.** Se o rotacional é simples, uma superfície plana com o mesmo bordo costuma ser muito mais fácil. ## Teoremas e guias relacionados O teorema de Stokes generaliza o [teorema de Green](/theorems/greens-theorem) e está ao lado do [teorema da divergência](/theorems/divergence-theorem) como um dos três grandes teoremas do cálculo vetorial. Os três são versões em dimensões mais altas do [Teorema Fundamental do Cálculo](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2). Para o produto vetorial por trás do rotacional, veja [vetores, produto escalar e produto vetorial](/blog/vectors-dot-and-cross-product), e para derivadas parciais veja [derivadas parciais](/blog/partial-derivatives). ## Perguntas frequentes ### O que diz o teorema de Stokes? Se $S$ é uma superfície orientada e suave por partes com curva de bordo $C$, orientada pela regra da mão direita, e $\mathbf{F}$ tem derivadas parciais contínuas perto de $S$, então $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$. ### Como orientar a curva no teorema de Stokes? Aponte o polegar direito ao longo do vetor normal escolhido de $S$. Os dedos se curvam no sentido positivo de $C$. De forma equivalente, andando sobre $C$ com a cabeça apontando na direção da normal, a superfície fica à sua esquerda. ### Por que é possível trocar a superfície no teorema de Stokes? O lado direito é igual à integral de linha ao longo de $C$, que depende só da curva. Assim, quaisquer duas superfícies com o mesmo bordo e orientação compatível têm o mesmo fluxo do rotacional, e você pode escolher a mais fácil, muitas vezes um disco plano. ### Qual a relação entre o teorema de Stokes e o teorema de Green? Se $S$ é uma região plana no plano $xy$ com normal $\mathbf{k}$ apontando para cima, então $(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{k} = Q_x - P_y$, e o teorema de Stokes se reduz ao teorema de Green.