# Teorema de Taylor: fórmula do resto e estimativa do erro

> Teorema de Taylor com resto de Lagrange: o quanto um polinômio de Taylor se aproxima de f(x). Enunciado, estimativa do erro, gráfico e exemplos com e e sen x.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/teoremas/teorema-de-taylor
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1} $$

## Visão geral

- **Hipóteses:** $f$ tem $n + 1$ derivadas em um intervalo aberto $I$ que contém $a$, e $x$ está em $I$
- **Polinômio de Taylor:** $P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$
- **Resto (forma de Lagrange):** $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ para algum $c$ entre $a$ e $x$
- **Estimativa do erro:** $|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$ onde $|f^{(n+1)}| \le M$
- **Caso n = 0:** O Teorema do Valor Médio
- **Disciplina:** Cálculo 2

## Pontos principais

- O teorema de Taylor diz que $f(x)$ é igual ao seu polinômio de Taylor de grau $n$ mais um resto que pode ser estimado.
- O resto de Lagrange se parece com o próximo termo da série, com a derivada calculada em um $c$ desconhecido.
- Limite $|f^{(n+1)}|$ por $M$ no intervalo para obter a estimativa do erro $\frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$.
- Uma série de Taylor é igual a $f$ exatamente quando o resto tende a $0$ quando $n \to \infty$.

O **teorema de Taylor** diz que uma função suave é igual ao seu polinômio de Taylor mais um termo de erro, e dá a esse termo de erro uma forma exata. Isso transforma "o polinômio de Taylor é uma boa aproximação" em um número garantido de casas decimais corretas.

## Enunciado do teorema de Taylor

Suponha que $f$ tem derivadas até a ordem $n + 1$ em um intervalo aberto $I$ que contém $a$. Seja

$$P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$$

o polinômio de Taylor de grau $n$ de $f$ em $a$. Então, para todo $x$ em $I$, existe um número $c$ **entre $a$ e $x$** tal que

$$f(x) = P_n(x) + R_n(x), \qquad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$$

Essa é a **forma de Lagrange do resto**. Quando $a = 0$, o polinômio é chamado de polinômio de Maclaurin.

## Desigualdade de Taylor (a estimativa do erro)

Você quase nunca conhece $c$, então limita a derivada. Se $|f^{(n+1)}(t)| \le M$ para todo $t$ entre $a$ e $x$, então

$$|f(x) - P_n(x)| = |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$$

A cota fica pequena rapidamente porque $(n+1)!$ cresce mais rápido que qualquer potência.

## O que o teorema de Taylor significa

O resto se parece exatamente com o próximo termo da série de Taylor, só que a derivada é calculada em algum ponto $c$ em vez de em $a$. Para $n = 0$ o enunciado é $f(x) = f(a) + f'(c)(x - a)$, que é o [Teorema do Valor Médio](/theorems/mean-value-theorem). O teorema de Taylor é a versão de ordem superior.

```graph
title: 'Teorema de Taylor: polinômios de Taylor de sen(x) em 0 colados à curva perto de 0'
caption: 'Os polinômios de Maclaurin de graus 1, 3 e 5 de $\sin x$. Perto de $x = 0$ o erro é minúsculo; ele cresce com $|x|$ e diminui à medida que o grau aumenta.'
x: [-4, 4]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sen(x)
  - expr: x
    label: grau 1, y = x
    dashed: true
  - expr: x - x^3/6
    label: grau 3, y = x − x³/6
    dashed: true
  - expr: x - x^3/6 + x^5/120
    label: grau 5
    dashed: true
```

## Por que as hipóteses importam

**Derivadas suficientes.** A fórmula do resto usa $f^{(n+1)}$. Para $f(x) = |x|$ em $a = 0$, $f'(0)$ não existe, então não há nem sequer um polinômio de Taylor de grau 1.

**Um resto que não diminui.** O teorema de Taylor sempre vale quando suas hipóteses valem, mas não promete que o erro tende a $0$. A função $f(x) = e^{-1/x^2}$ (com $f(0) = 0$) tem todas as derivadas iguais a $0$ em $x = 0$, então todo polinômio de Taylor em $0$ é o polinômio nulo. O resto $R_n(x) = f(x)$ nunca diminui, e a série de Taylor converge para $0$, não para $f$. Uma função é igual à sua [série de Taylor](/blog/taylor-series) só quando $R_n(x) \to 0$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: aproxime $e$ com $P_4$ e estime o erro.**

**Passo 1.** Para $f(x) = e^x$ em $a = 0$, toda derivada é $e^x$ e vale $1$ em $0$. Então

$$P_4(1) = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{65}{24} \approx 2.70833$$

**Passo 2.** Em $[0, 1]$, $f^{(5)}(t) = e^t \le e < 3$, então tome $M = 3$.

**Passo 3.** $|R_4(1)| \le \frac{3}{5!}\cdot 1^5 = \frac{3}{120} = 0.025$.

O erro verdadeiro é $e - 2.70833 \approx 0.00995$, bem dentro da cota.

**Exemplo 2: $\sin(0.1)$ com alta precisão.**

O polinômio de Maclaurin $P_3(x) = x - \frac{x^3}{6}$ dá $\sin(0.1) \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} \approx 0.0998333$. Como o coeficiente de $x^4$ do seno é $0$, $P_4 = P_3$, então podemos usar $R_4$. Toda derivada de $\sin$ é limitada por $M = 1$:

$$|R_4(0.1)| \le \frac{1}{5!}(0.1)^5 = \frac{0.00001}{120} \approx 8.3 \times 10^{-8}$$

Logo $0.0998333$ está correto em pelo menos seis casas decimais.

**Exemplo 3: quantos termos para $e^{0.5}$ com erro menor que $0.001$?**

Em $[0, 0.5]$, $e^t \le e^{0.5} < 2$, então $|R_n(0.5)| \le \frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}$.

| $n$ | Cota $\frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}$ |
| --- | --- |
| $2$ | $\frac{2(0.125)}{6} \approx 0.042$ |
| $3$ | $\frac{2(0.0625)}{24} \approx 0.0052$ |
| $4$ | $\frac{2(0.03125)}{120} \approx 0.00052$ |

A cota fica abaixo de $0.001$ pela primeira vez em $n = 4$, então $P_4(0.5)$ é preciso o suficiente.

## Erros comuns

1. **Usar $(n)!$ em vez de $(n+1)!$.** O resto depois de um polinômio de grau $n$ usa a derivada de ordem $(n+1)$ e $(n+1)!$.
2. **Limitar a derivada só em $a$.** $M$ precisa limitar $|f^{(n+1)}|$ em todo o intervalo entre $a$ e $x$.
3. **Supor que a série de Taylor é sempre igual a $f$.** Ela só é quando o resto tende a $0$.

## Teoremas e guias relacionados

O teorema de Taylor generaliza o [Teorema do Valor Médio](/theorems/mean-value-theorem). Para construir os próprios polinômios e séries, veja [série de Taylor](/blog/taylor-series) e [séries de potências](/blog/power-series). Em várias variáveis, a expansão de Taylor de segunda ordem usa derivadas parciais mistas, que, segundo o [teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem), podem ser calculadas em qualquer ordem.

## Perguntas frequentes

### O que diz o teorema de Taylor?

Se $f$ tem $n + 1$ derivadas em um intervalo que contém $a$ e $x$, então $f(x) = P_n(x) + R_n(x)$, onde $P_n$ é o polinômio de Taylor de grau $n$ em $a$ e $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ para algum $c$ entre $a$ e $x$.

### O que é a estimativa do erro de Lagrange?

Se $|f^{(n+1)}(t)| \le M$ para todo $t$ entre $a$ e $x$, então o erro ao usar $P_n(x)$ para aproximar $f(x)$ é no máximo $\frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$. É o mesmo que a desigualdade de Taylor.

### Como saber quantos termos do polinômio de Taylor são necessários?

Escreva a estimativa do erro como função de $n$ e aumente $n$ até que a cota fique menor que a precisão desejada. O fatorial no denominador faz a cota diminuir rapidamente.

### Qual a diferença entre o teorema de Taylor e uma série de Taylor?

Uma série de Taylor é a soma infinita de todos os termos. O teorema de Taylor trata de um polinômio finito e dá uma fórmula exata para o erro que sobra, e é assim que se prova que uma série de Taylor converge para a função.