# Teorema do Valor Extremo (Weierstrass): enunciado e exemplos

> Teorema do Valor Extremo: uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] tem máximo e mínimo absolutos. Enunciado, gráfico, contraexemplos e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/teoremas/teorema-do-valor-extremo
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(c) \le f(x) \le f(d) \text{ para todo } x \in [a, b] $$

## Visão geral

- **Hipóteses:** $f$ é contínua em um intervalo fechado e limitado $[a, b]$
- **Conclusão:** $f$ tem um mínimo absoluto $f(c)$ e um máximo absoluto $f(d)$ para certos $c, d$ em $[a, b]$
- **Tipo:** Teorema de existência: garante os valores extremos, não onde eles estão
- **Onde procurar:** Pontos críticos em $(a, b)$ e as extremidades $a$ e $b$
- **Usado para:** O método do intervalo fechado, otimização
- **Disciplina:** Cálculo 1

## Pontos principais

- Uma função contínua em um intervalo fechado $[a, b]$ sempre atinge um valor mais alto e um valor mais baixo.
- As duas condições importam: sem continuidade ou sem intervalo fechado, o máximo ou o mínimo pode não existir.
- Os extremos ocorrem em pontos críticos ou nas extremidades, e é por isso que o método do intervalo fechado funciona.

O **Teorema do Valor Extremo** (TVE), também conhecido no Brasil como teorema de Weierstrass, garante que uma função contínua em um intervalo fechado tem um ponto mais alto e um ponto mais baixo. É por isso que problemas de otimização em um intervalo fechado sempre têm resposta, e ele diz exatamente onde procurá-la.

## Enunciado do Teorema do Valor Extremo

Se $f$ é **contínua** no **intervalo fechado e limitado** $[a, b]$, então existem números $c$ e $d$ em $[a, b]$ tais que

$$f(c) \le f(x) \le f(d) \quad \text{para todo } x \in [a, b]$$

Assim, $f(c)$ é o **mínimo absoluto** de $f$ em $[a, b]$ e $f(d)$ é o **máximo absoluto**. Os pontos $c$ e $d$ podem ser extremidades ou pontos interiores, e pode haver mais de um de cada.

## O que o TVE significa

Um gráfico contínuo sobre um intervalo fechado é um pedaço de curva sem interrupções, com as duas pontas incluídas. Esse pedaço não pode fugir para o infinito, nem pode se aproximar de uma altura sem alcançá-la, então ele tem um topo e um fundo.

```graph
title: 'Teorema do Valor Extremo: y = x³ − 3x em [0, 2,5] atinge máximo e mínimo'
caption: 'Em $[0, 2.5]$ o mínimo $-2$ ocorre no ponto crítico $x = 1$ e o máximo $8.125$ ocorre na extremidade $x = 2.5$.'
x: [-0.5, 3]
y: [-3, 9]
functions:
  - expr: x^3 - 3x
    label: y = x³ − 3x
    domain: [0, 2.5]
points:
  - [1, -2, 'mín (1, −2)']
  - [2.5, 8.125, 'máx (2.5, 8.125)']
  - [0, 0, '(0, 0)']
vertical:
  - {x: 0, label: 'a = 0'}
  - {x: 2.5, label: 'b = 2.5'}
```

## Por que cada hipótese importa

**O intervalo precisa ser fechado.** $f(x) = x$ no intervalo aberto $(0, 1)$ é contínua, mas não tem máximo: para qualquer valor que você escolha, um $x$ um pouco maior dá uma saída maior. O candidato a máximo, $1$, fica na extremidade excluída.

**O intervalo precisa ser limitado.** $f(x) = x$ em $[0, \infty)$ tem mínimo em $0$, mas não tem máximo, porque cresce para sempre.

**A função precisa ser contínua.** Defina $f(x) = x$ para $0 \le x < 1$ e $f(1) = 0$. Em $[0, 1]$ os valores chegam cada vez mais perto de $1$, mas nunca o atingem, então não há máximo. A culpa é do salto em $x = 1$. Uma assíntota vertical, como em $\frac{1}{x}$ em $[-1, 1]$ com $f(0)$ definido como $0$, também destrói o máximo e o mínimo.

Essas condições são suficientes, mas não necessárias. Algumas funções descontínuas ainda têm valores extremos. O TVE apenas os garante quando as hipóteses são satisfeitas.

## O método do intervalo fechado

O TVE diz que os extremos existem. O [teorema de Fermat](/theorems/fermats-theorem) diz que um extremo interior precisa estar em um ponto crítico. Juntos, eles dão uma receita completa:

1. Verifique que $f$ é contínua em $[a, b]$.
2. Encontre os pontos críticos de $f$ em $(a, b)$: onde $f'(x) = 0$ ou $f'(x)$ não existe.
3. Calcule $f$ em cada ponto crítico e em $a$ e $b$.
4. O maior valor é o máximo absoluto, e o menor é o mínimo absoluto.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: $f(x) = x^3 - 3x$ em $[0, 2.5]$.**

**Passo 1.** $f$ é um polinômio, então é contínua e o TVE se aplica.

**Passo 2.** $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$, que se anula em $x = \pm 1$. Apenas $x = 1$ está em $(0, 2.5)$.

**Passo 3.** Calcule: $f(0) = 0$, $f(1) = 1 - 3 = -2$ e $f(2.5) = 15.625 - 7.5 = 8.125$.

**Passo 4.** O mínimo absoluto é $-2$ em $x = 1$ e o máximo absoluto é $8.125$ em $x = 2.5$. Repare que o máximo está em uma extremidade, onde $f'$ não é zero. É por isso que você sempre precisa verificar as extremidades.

**Exemplo 2: $f(x) = x - 2\sin x$ em $[0, \pi]$.**

$f'(x) = 1 - 2\cos x = 0$ dá $\cos x = \frac{1}{2}$, então $x = \frac{\pi}{3}$ em $(0, \pi)$. Logo

$$f(0) = 0, \qquad f\left(\tfrac{\pi}{3}\right) = \tfrac{\pi}{3} - \sqrt{3} \approx -0.685, \qquad f(\pi) = \pi$$

O mínimo absoluto é $\frac{\pi}{3} - \sqrt{3}$ em $x = \frac{\pi}{3}$ e o máximo absoluto é $\pi$ em $x = \pi$.

**Exemplo 3: quando o TVE não se aplica.** A função $f(x) = \frac{1}{x}$ tem máximo em $(0, 2]$? O intervalo não é fechado, então o TVE não promete nada. De fato, $f(x) \to \infty$ quando $x \to 0^+$, então não há máximo. Existe um mínimo, $f(2) = \frac{1}{2}$, o que mostra que a conclusão do TVE ainda pode valer em parte.

## Erros comuns

1. **Esquecer as extremidades.** Resolver $f'(x) = 0$ só encontra candidatos interiores. A resposta muitas vezes está em $a$ ou $b$.
2. **Usar pontos críticos fora do intervalo.** No Exemplo 1, $x = -1$ é um ponto crítico, mas não está em $[0, 2.5]$, então é descartado.
3. **Aplicar o TVE em intervalos abertos ou infinitos.** Nesses casos, analise os limites nas bordas, como em [problemas de otimização](/blog/optimization-problems).

## Teoremas relacionados

O TVE é usado para provar o [teorema de Rolle](/theorems/rolles-theorem) e, portanto, o [Teorema do Valor Médio](/theorems/mean-value-theorem). Ele compartilha a hipótese de continuidade com o [Teorema do Valor Intermediário](/theorems/intermediate-value-theorem). Para esboçar gráficos e classificar extremos, veja [esboço de gráficos com derivadas](/blog/curve-sketching-with-derivatives).

## Perguntas frequentes

### O que diz o Teorema do Valor Extremo?

Se $f$ é contínua em um intervalo fechado $[a, b]$, então $f$ atinge um máximo absoluto e um mínimo absoluto nesse intervalo. Existem pontos $c$ e $d$ em $[a, b]$ com $f(c) \le f(x) \le f(d)$ para todo $x$ do intervalo.

### Por que o Teorema do Valor Extremo precisa de um intervalo fechado?

Em um intervalo aberto, a função pode se aproximar de um valor na borda sem nunca atingi-lo. Por exemplo, $f(x) = x$ em $(0, 1)$ chega tão perto quanto se queira de $0$ e $1$, mas não tem máximo nem mínimo.

### Como encontrar o máximo e o mínimo absolutos em um intervalo fechado?

Encontre os pontos críticos de $f$ em $(a, b)$, calcule $f$ nesses pontos e nas duas extremidades e compare. O maior valor é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto.

### O máximo e o mínimo podem ocorrer no mesmo ponto?

Só se a função for constante no intervalo. Nesse caso, todo ponto é ao mesmo tempo máximo absoluto e mínimo absoluto.