# Teorema do Valor Intermediário (TVI): enunciado e exemplos

> Teorema do Valor Intermediário: uma função contínua em [a, b] assume todo valor entre f(a) e f(b). Enunciado, gráfico, contraexemplos e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/teoremas/teorema-do-valor-intermediario
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(c) = N \text{ para algum } c \in (a, b) $$

## Visão geral

- **Hipóteses:** $f$ é contínua no intervalo fechado $[a, b]$, e $N$ está estritamente entre $f(a)$ e $f(b)$
- **Conclusão:** Existe pelo menos um $c$ em $(a, b)$ com $f(c) = N$
- **Tipo:** Teorema de existência: diz que $c$ existe, mas não onde
- **Ideal para:** Provar que uma equação tem solução, localizar raízes
- **Versão para raízes:** Se $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos, $f$ tem um zero em $(a, b)$
- **Disciplina:** Cálculo 1

## Pontos principais

- Uma função contínua em $[a, b]$ assume todo valor entre $f(a)$ e $f(b)$ pelo menos uma vez.
- Se $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos, a equação $f(x) = 0$ tem solução em $(a, b)$.
- A continuidade em todo o intervalo fechado é essencial. Um único salto ou uma assíntota já quebra o teorema.
- O teorema prova que existe uma solução. Ele não diz quantas existem nem onde estão.

O **Teorema do Valor Intermediário** (TVI) diz que uma função contínua não pode pular valores. Se ela começa em uma altura e termina em outra, precisa passar por todas as alturas intermediárias. É a forma padrão de provar que uma equação tem solução sem resolvê-la.

## Enunciado do Teorema do Valor Intermediário

Suponha que

1. $f$ é **contínua no intervalo fechado** $[a, b]$, e
2. $N$ é qualquer número **estritamente entre** $f(a)$ e $f(b)$.

Então existe pelo menos um número $c$ no intervalo aberto $(a, b)$ tal que

$$f(c) = N$$

O caso particular mais comum trata de raízes: se $f$ é contínua em $[a, b]$ e $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos, então $f(c) = 0$ para algum $c$ em $(a, b)$. Essa versão às vezes é chamada de teorema de Bolzano (ou teorema do anulamento).

## O que o TVI significa

Desenhe uma curva contínua do ponto $(a, f(a))$ ao ponto $(b, f(b))$ sem tirar o lápis do papel. Qualquer reta horizontal $y = N$ entre as duas alturas precisa ser cruzada. O TVI é a versão precisa desse desenho.

```graph
title: 'Teorema do Valor Intermediário: y = x³ − x − 1 cruza o zero entre x = 1 e x = 2'
caption: 'Como $f(1) = -1 < 0$ e $f(2) = 5 > 0$ e $f$ é contínua, a curva precisa cruzar $y = 0$ em algum ponto de $(1, 2)$. O cruzamento fica perto de $x \approx 1.32$.'
x: [0, 2.4]
y: [-2.5, 6]
functions:
  - expr: x^3 - x - 1
    label: y = x³ − x − 1
points:
  - [1, -1, 'f(1) = −1']
  - [2, 5, 'f(2) = 5']
  - [1.3247, 0, 'c ≈ 1.32']
vertical:
  - {x: 1, label: 'a = 1'}
  - {x: 2, label: 'b = 2'}
```

Repare no que o teorema não diz. Ele não diz onde está $c$, nem que $c$ é único. É um **teorema de existência**.

## Por que a continuidade importa: contraexemplos

**Uma assíntota vertical.** Seja $f(x) = \frac{1}{x}$ em $[-1, 1]$. Então $f(-1) = -1$ e $f(1) = 1$, logo $0$ está entre eles, mas $\frac{1}{x}$ nunca vale $0$. O TVI não se aplica porque $f$ nem sequer está definida, muito menos é contínua, em $x = 0$.

**Um salto.** Seja $f(x) = 0$ para $x < 1$ e $f(x) = 2$ para $x \ge 1$, em $[0, 2]$. A função vai de $0$ a $2$, mas nunca vale $1$. O salto em $x = 1$ quebra a continuidade.

**Continuidade em parte do intervalo não basta.** A hipótese é continuidade em todo o $[a, b]$, incluindo as extremidades. Verificar alguns pontos não prova nada. Veja o guia sobre [continuidade](/blog/continuity) para saber como verificá-la.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: mostre que $x^3 - x - 1 = 0$ tem solução entre $1$ e $2$.**

**Passo 1.** $f(x) = x^3 - x - 1$ é um polinômio, então é contínua em $[1, 2]$.

**Passo 2.** $f(1) = 1 - 1 - 1 = -1$ e $f(2) = 8 - 2 - 1 = 5$.

**Passo 3.** Como $-1 < 0 < 5$, o TVI garante um $c$ em $(1, 2)$ com $f(c) = 0$.

**Passo 4 (estreitando o intervalo).** $f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0$, então a mudança de sinal, e portanto uma raiz, está em $(1, 1.5)$. Repetir essa divisão ao meio é o **método da bissecção**, que localiza a raiz em $c \approx 1.3247$.

**Exemplo 2: mostre que $\cos x = x$ tem solução.**

Passe tudo para um lado: $g(x) = \cos x - x$, que é contínua em toda parte. Então

$$g(0) = 1 > 0, \qquad g\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0 - \tfrac{\pi}{2} < 0$$

Pelo TVI, $g(c) = 0$ para algum $c$ em $(0, \frac{\pi}{2})$, então $\cos c = c$. Você nunca conseguiria resolver essa equação com álgebra, mas o TVI prova que a solução existe.

**Exemplo 3: atingir um valor diferente de zero.** Mostre que $f(x) = x^2 + x$ assume o valor $4$ em $[1, 2]$. $f$ é contínua, $f(1) = 2$ e $f(2) = 6$. Como $2 < 4 < 6$, existe um $c$ em $(1, 2)$ com $c^2 + c = 4$. (Resolvendo, obtemos $c = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1.56$, que de fato está no intervalo.)

## Como escrever um argumento com o TVI

Uma resposta completa em prova menciona as três partes:

1. **Continuidade:** diga por que $f$ é contínua em $[a, b]$ (polinômio, soma de funções contínuas etc.).
2. **Valores nas extremidades:** calcule $f(a)$ e $f(b)$.
3. **Conclusão:** diga que $N$ está entre eles, então, pelo Teorema do Valor Intermediário, algum $c$ em $(a, b)$ satisfaz $f(c) = N$.

## Erros comuns

1. **Pular a verificação da continuidade.** Sem ela o argumento fica incompleto, e para funções como $\tan x$ ou $\frac{1}{x}$ a conclusão pode ser falsa.
2. **Afirmar que há exatamente uma solução.** O TVI garante pelo menos uma. A unicidade exige um argumento separado, por exemplo, que $f$ é estritamente crescente.
3. **Usar a recíproca.** Uma função que assume todos os valores intermediários não é necessariamente contínua. O TVI só vale em um sentido.

## Teoremas relacionados

O TVI anda junto com o [Teorema do Valor Extremo](/theorems/extreme-value-theorem): os dois dependem da continuidade em um intervalo fechado. Para provar que uma raiz é a única, combine o TVI com o [teorema de Rolle](/theorems/rolles-theorem). Para as técnicas de limites por trás da continuidade, veja [como calcular limites](/blog/how-to-evaluate-limits) e o [Teorema do Confronto](/theorems/squeeze-theorem).

## Perguntas frequentes

### O que diz o Teorema do Valor Intermediário?

Se $f$ é contínua em $[a, b]$ e $N$ é qualquer número entre $f(a)$ e $f(b)$, então $f(c) = N$ para pelo menos um $c$ entre $a$ e $b$. Um gráfico contínuo não consegue ir de uma altura a outra sem passar por todas as alturas intermediárias.

### Como usar o TVI para mostrar que existe uma raiz?

Verifique que $f$ é contínua em $[a, b]$, calcule $f(a)$ e $f(b)$ e confirme que têm sinais opostos. Então $0$ está entre eles, e o TVI garante algum $c$ em $(a, b)$ com $f(c) = 0$.

### O Teorema do Valor Intermediário diz quantas raízes existem?

Não. Ele garante pelo menos uma. Pode haver três, ou cem. Para mostrar que existe exatamente uma, combine o TVI com um fato como $f$ ser estritamente crescente, muitas vezes provado com o [teorema de Rolle](/theorems/rolles-theorem).

### O que acontece se a função não for contínua?

A conclusão pode falhar. Por exemplo, $f(x) = \frac{1}{x}$ tem $f(-1) = -1$ e $f(1) = 1$, mas nunca vale $0$, porque não é contínua em $x = 0$.