# Teorema do Valor Médio para Integrais: enunciado e exemplos

> Teorema do Valor Médio para integrais: uma função contínua em [a, b] atinge seu valor médio em algum ponto c. Enunciado, gráfico, contraexemplo e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/teoremas/teorema-do-valor-medio-para-integrais
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx $$

## Visão geral

- **Hipóteses:** $f$ é contínua em $[a, b]$
- **Conclusão:** Algum $c$ em $[a, b]$ satisfaz $f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$
- **Valor médio:** $f_{\text{avg}} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$
- **Significado geométrico:** Um retângulo de altura $f(c)$ sobre $[a, b]$ tem a mesma área que a região sob $f$
- **Relacionado a:** O Teorema do Valor Médio para derivadas, aplicado a $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$
- **Disciplina:** Cálculo 1

## Pontos principais

- Uma função contínua de fato atinge seu valor médio em algum ponto do intervalo.
- O valor médio de $f$ em $[a, b]$ é $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.
- Para encontrar $c$, calcule o valor médio, resolva $f(c) = f_{\text{avg}}$ e fique com as soluções em $[a, b]$.
- A continuidade é essencial: uma função com salto pode pular por cima do seu valor médio.

O **Teorema do Valor Médio para integrais** diz que uma função contínua atinge o seu próprio valor médio pelo menos uma vez. Se você achatar a área sob a curva em um retângulo de mesma largura, a altura desse retângulo é um valor que a função realmente assume.

## Enunciado do Teorema do Valor Médio para integrais

Se $f$ é **contínua** no intervalo fechado $[a, b]$, então existe um número $c$ em $[a, b]$ tal que

$$f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$$

ou, de forma equivalente,

$$\int_a^b f(x)\,dx = f(c)\,(b - a)$$

A quantidade do lado direito da primeira equação é o **valor médio** de $f$ em $[a, b]$, indicado por $f_{\text{avg}}$.

## O que o teorema significa

A área sob $y = f(x)$ de $a$ até $b$ é igual à área de um retângulo com a mesma base, $b - a$, e altura $f_{\text{avg}}$. O teorema diz que essa altura não é um número qualquer: a curva passa por ela. Imagine a água de um tanque com a superfície ondulada. Quando a água se acalma e fica plana, seu nível é a altura média, e a superfície ondulada original estava nesse nível em algum ponto.

```graph
title: 'Teorema do Valor Médio para integrais: y = x² em [0, 3] atinge seu valor médio 3 em x = √3'
caption: 'A área sob $y = x^2$ em $[0, 3]$ é $9$, então o valor médio é $\frac{9}{3} = 3$. A curva vale $3$ em $c = \sqrt{3} \approx 1.732$.'
x: [-0.3, 3.3]
y: [-0.5, 9.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: '3'
    label: valor médio y = 3
    dashed: true
    domain: [0, 3]
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 3}
points:
  - [1.732, 3, 'c = √3']
```

## Por que a continuidade importa

Seja $f(x) = 0$ para $0 \le x < 1$ e $f(x) = 1$ para $1 \le x \le 2$. Sua integral em $[0, 2]$ é $1$, então seu valor médio é $\frac{1}{2}$. Mas $f$ só assume os valores $0$ e $1$, nunca $\frac{1}{2}$. O salto em $x = 1$ permite que a função pule por cima da sua média. Com continuidade, o [Teorema do Valor Intermediário](/theorems/intermediate-value-theorem) impede isso.

## Por que o teorema é verdadeiro

Pelo [Teorema do Valor Extremo](/theorems/extreme-value-theorem), $f$ tem um mínimo $m$ e um máximo $M$ em $[a, b]$. Como $m \le f(x) \le M$,

$$m(b - a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b - a) \implies m \le f_{\text{avg}} \le M$$

Assim, $f_{\text{avg}}$ está entre dois valores que $f$ atinge, e o Teorema do Valor Intermediário fornece um $c$ com $f(c) = f_{\text{avg}}$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: $f(x) = x^2$ em $[0, 3]$.**

**Passo 1.** Valor médio: $\frac{1}{3 - 0}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3$.

**Passo 2.** Resolva $c^2 = 3$, então $c = \pm\sqrt{3}$.

**Passo 3.** Só $c = \sqrt{3} \approx 1.732$ está em $[0, 3]$.

**Exemplo 2: $f(x) = \sin x$ em $[0, \pi]$.**

**Passo 1.** $f_{\text{avg}} = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637$.

**Passo 2.** Resolva $\sin c = \frac{2}{\pi}$. Em $[0, \pi]$ há duas soluções:

$$c = \arcsin\frac{2}{\pi} \approx 0.690 \qquad \text{e} \qquad c = \pi - \arcsin\frac{2}{\pi} \approx 2.452$$

O teorema promete pelo menos uma; aqui há duas.

**Exemplo 3: uma função afim.** Para $f(x) = 2x + 1$ em $[0, 4]$, $\int_0^4 (2x + 1)\,dx = \big[x^2 + x\big]_0^4 = 20$, então $f_{\text{avg}} = \frac{20}{4} = 5$. Resolvendo $2c + 1 = 5$ obtemos $c = 2$, o ponto médio. Para qualquer função afim, o valor médio é atingido no ponto médio do intervalo.

## Erros comuns

1. **Esquecer de dividir por $b - a$.** A integral é a área; o valor médio é a área dividida pela largura.
2. **Manter soluções fora do intervalo.** No Exemplo 1, $c = -\sqrt{3}$ precisa ser descartado.
3. **Confundir com o TVM para derivadas.** Aquele teorema iguala $f'(c)$ à inclinação média de $f$. Este iguala $f(c)$ ao valor médio de $f$.

## Teoremas relacionados

Este teorema é o [Teorema do Valor Médio](/theorems/mean-value-theorem) aplicado a $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, usando a [parte 1 do TFC](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) para $F' = f$ e a [parte 2 do TFC](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) para calcular a integral. Para saber mais sobre integrais como área acumulada, veja [somas de Riemann](/blog/riemann-sums) e o [guia do Teorema Fundamental do Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Perguntas frequentes

### O que é o Teorema do Valor Médio para integrais?

Se $f$ é contínua em $[a, b]$, existe um número $c$ em $[a, b]$ com $f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$. Em outras palavras, $f$ assume seu valor médio pelo menos uma vez.

### Como calcular o valor médio de uma função?

Integre a função no intervalo e divida pelo comprimento do intervalo: $f_{\text{avg}} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$. Para $x^2$ em $[0, 3]$ isso dá $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$.

### Qual a relação entre o Teorema do Valor Médio para integrais e o TVM para derivadas?

Seja $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. Aplicando o Teorema do Valor Médio a $F$ obtemos $F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}$, e como $F' = f$ isso é exatamente $f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.

### O ponto c está no intervalo aberto ou fechado?

Os livros costumam enunciar $c \in [a, b]$, que é o que a prova com os teoremas do valor extremo e do valor intermediário fornece diretamente. Um argumento um pouco mais fino mostra que $c$ sempre pode ser escolhido no intervalo aberto $(a, b)$.