# Teorema do Valor Médio (TVM): enunciado, gráfico e exemplos

> Teorema do Valor Médio: uma função suave em [a, b] tem um ponto onde a inclinação da tangente é igual à inclinação média. Enunciado, gráfico e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/teoremas/teorema-do-valor-medio
Atualizado: 2026-11-03

$$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$

## Visão geral

- **Hipóteses:** $f$ contínua em $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$
- **Conclusão:** Algum $c$ em $(a, b)$ satisfaz $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
- **Significado geométrico:** Alguma reta tangente é paralela à reta secante que passa pelas extremidades
- **Significado físico:** Em algum instante, a velocidade instantânea é igual à velocidade média
- **Caso particular:** O teorema de Rolle, quando $f(a) = f(b)$
- **Disciplina:** Cálculo 1

## Pontos principais

- Em algum ponto entre $a$ e $b$, a taxa de variação instantânea é igual à taxa de variação média.
- A função precisa ser contínua em $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$. Um bico ou um salto pode invalidar a conclusão.
- O TVM transforma limitações para $f'$ em limitações para o quanto $f$ pode variar.
- Se $f'(x) = 0$ em um intervalo, o TVM prova que $f$ é constante ali.

O **Teorema do Valor Médio** (TVM), também chamado de teorema de Lagrange, diz que, para uma função suave, a taxa de variação média em um intervalo é atingida como taxa de variação instantânea em algum ponto dentro dele. Geometricamente, alguma reta tangente é paralela à reta secante que liga as extremidades.

## Enunciado do Teorema do Valor Médio

Suponha que $f$ satisfaz as duas hipóteses:

1. $f$ é **contínua** no intervalo fechado $[a, b]$;
2. $f$ é **diferenciável** no intervalo aberto $(a, b)$.

Então existe pelo menos um número $c$ em $(a, b)$ tal que

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

De forma equivalente, $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$. Essa segunda forma é a usada em demonstrações: ela converte informação sobre a derivada em informação sobre a função.

## O que o TVM significa

A fração $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ é a inclinação da reta secante, a taxa de variação **média**. $f'(c)$ é a inclinação da tangente, uma taxa de variação **instantânea**. O TVM diz que as duas coincidem em algum ponto. Se a sua velocidade média em uma viagem foi de 60 km/h, em algum instante você estava a exatamente 60 km/h.

```graph
title: 'Teorema do Valor Médio: tangente a y = x³ paralela à secante em [0, 2]'
caption: 'A secante de $(0, 0)$ a $(2, 8)$ tem inclinação $4$. Em $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$ a reta tangente tem a mesma inclinação.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-4, 10]
functions:
  - expr: x^3
    label: y = x³
  - expr: 4x
    label: secante, inclinação 4
    domain: [0, 2]
  - expr: 4x - 3.0792
    label: tangente em c
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'a = 0']
  - [2, 8, 'b = 2']
  - [1.1547, 1.5396, 'c ≈ 1.155']
```

## Por que cada hipótese importa

**Diferenciabilidade.** Tome $f(x) = |x|$ em $[-1, 2]$. Ela é contínua, e a inclinação da secante é $\frac{2 - 1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}$. Mas $f'(x)$ vale $-1$ para $x < 0$ e $1$ para $x > 0$, nunca $\frac{1}{3}$. O culpado é o bico em $0$.

**Continuidade.** Tome $f(x) = \frac{1}{x}$ em $[-1, 1]$. A inclinação da secante é $\frac{1 - (-1)}{2} = 1$, mas $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ é sempre negativa. A função não é contínua em $0$, então o TVM não se aplica.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: encontre $c$ para $f(x) = x^3$ em $[0, 2]$.**

**Passo 1.** $f$ é um polinômio, então as duas hipóteses valem.

**Passo 2.** Inclinação média: $\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{8}{2} = 4$.

**Passo 3.** Resolva $f'(c) = 3c^2 = 4$, o que dá $c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$. Só $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$ está em $(0, 2)$.

**Exemplo 2: encontre $c$ para $f(x) = \sqrt{x}$ em $[1, 4]$.**

$f$ é contínua em $[1, 4]$ e diferenciável em $(1, 4)$. A inclinação média é $\frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$. Resolva

$$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{c} = \frac{3}{2} \implies c = \frac{9}{4}$$

e $\frac{9}{4} = 2.25$ está em $(1, 4)$.

**Exemplo 3: limitando uma função.** Suponha que $f(0) = 1$ e $f'(x) \le 3$ para todo $x$. Qual o maior valor possível de $f(2)$?

Pelo TVM em $[0, 2]$, $f(2) - f(0) = f'(c) \cdot 2$ para algum $c$. Como $f'(c) \le 3$,

$$f(2) \le 1 + 3 \cdot 2 = 7$$

Você descobre algo sobre $f(2)$ sem conhecer a função. É assim que o TVM é usado em demonstrações e em estimativas de erro da [aproximação linear](/blog/linear-approximation).

## Consequências importantes

- **Derivada nula significa função constante.** Se $f'(x) = 0$ em um intervalo, então para quaisquer dois pontos $f(x_2) - f(x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0$, logo $f$ é constante.
- **Mesma derivada significa diferença constante.** Se $f' = g'$, então $f - g$ é constante. É por isso que toda [primitiva](/blog/antiderivatives) tem um $+ C$.
- **O sinal de $f'$ dá a monotonicidade.** Se $f' > 0$ em um intervalo, $f$ é crescente ali, que é a base do teste da derivada primeira.

## Erros comuns

1. **Responder com um $c$ fora de $(a, b)$.** Resolva $f'(c) = \text{slope}$ e depois descarte as raízes que não estão no intervalo aberto.
2. **Pular a verificação das hipóteses.** Para funções com raízes, valores absolutos ou frações, verifique primeiro a continuidade e a diferenciabilidade.
3. **Achar que o TVM localiza $c$.** Ele só garante que esse ponto existe. Em muitas aplicações, como no Exemplo 3, você nunca chega a encontrar $c$.

## Teoremas relacionados

O TVM é demonstrado a partir do [teorema de Rolle](/theorems/rolles-theorem) subtraindo a reta secante de $f$. Seu irmão para integrais é o [Teorema do Valor Médio para integrais](/theorems/mean-value-theorem-for-integrals), e o [teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem) é uma versão de ordem superior. Para mais aplicações e prática, leia o [guia completo do Teorema do Valor Médio](/blog/mean-value-theorem).

## Perguntas frequentes

### O que diz o Teorema do Valor Médio?

Se $f$ é contínua em $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$, então existe um número $c$ em $(a, b)$ com $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. A inclinação da tangente em $c$ é igual à inclinação da reta secante de $a$ até $b$.

### Como encontrar c no Teorema do Valor Médio?

Calcule a taxa de variação média $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, iguale $f'(c)$ a ela, resolva para $c$ e fique só com as soluções que estão no intervalo aberto $(a, b)$.

### Qual é um exemplo do Teorema do Valor Médio no dia a dia?

Se você dirige 120 km em 2 horas, sua velocidade média é 60 km/h, então o TVM diz que o velocímetro marcou exatamente 60 km/h em algum momento da viagem.

### Por que o Teorema do Valor Médio exige diferenciabilidade?

Sem ela, o gráfico pode ter um bico e nenhuma reta tangente tem a inclinação da secante. Para $f(x) = |x|$ em $[-1, 2]$ a inclinação da secante é $\frac{1}{3}$, mas a derivada só vale $-1$ ou $1$.