# Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1: derivada de uma integral

> TFC parte 1: se f é contínua, a derivada da integral de a até x de f(t) dt é f(x). Enunciado, gráfico, versão com regra da cadeia e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/teoremas/teorema-fundamental-do-calculo-parte-1
Atualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x) $$

## Visão geral

- **Hipóteses:** $f$ é contínua em $[a, b]$, e $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ para $x$ em $[a, b]$
- **Conclusão:** $F$ é contínua em $[a, b]$, derivável em $(a, b)$, e $F'(x) = f(x)$
- **Em palavras:** A taxa com que a área acumulada cresce é a altura da curva
- **Versão com regra da cadeia:** $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)$
- **Grande consequência:** Toda função contínua tem uma primitiva
- **Disciplina:** Cálculo 1

## Pontos principais

- Derivar uma integral com limite superior variável devolve o integrando calculado nesse limite.
- Quando o limite superior é uma função $g(x)$, multiplique por $g'(x)$: é a regra da cadeia.
- O limite inferior $a$ não afeta a derivada, desde que seja uma constante.
- O TFC 1 mostra que derivação e integração são processos inversos.

O **Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1** (TFC 1) diz que, se você constrói uma função acumulando a área sob uma curva contínua, a derivada dessa função é a própria curva. É a primeira metade da ligação entre derivadas e integrais.

## Enunciado do TFC parte 1

Seja $f$ **contínua** em $[a, b]$ e defina a **função acumulação**

$$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \qquad a \le x \le b$$

Então $F$ é contínua em $[a, b]$, derivável em $(a, b)$, e

$$F'(x) = f(x)$$

Na notação de Leibniz, $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. A variável $t$ é uma variável muda de integração, e $x$ é o limite superior.

## O que o TFC 1 significa

$F(x)$ é a área com sinal sob $y = f(t)$ de $a$ até $x$. Empurre $x$ um pouquinho para a direita, por $h$, e a área nova é uma faixa fina de largura $h$ e altura aproximadamente $f(x)$. Então

$$\frac{F(x + h) - F(x)}{h} \approx \frac{f(x)\,h}{h} = f(x)$$

e a aproximação se torna exata quando $h \to 0$. A taxa com que a área se acumula é igual à altura da curva.

```graph
title: 'TFC parte 1: a área sob y = x² de 0 até x cresce como F(x) = x³/3'
caption: 'A área sombreada até $x = 1.5$ é $F(1.5) = \frac{1.5^3}{3} = 1.125$. A curva tracejada $F(x) = \frac{x^3}{3}$ acompanha essa área, e sua inclinação em cada $x$ é igual à altura $x^2$.'
x: [0, 2.2]
y: [0, 4.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = f(x) = x²
  - expr: x^3/3
    label: F(x) = x³/3 (área acumulada)
    dashed: true
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 1.5}
points:
  - [1.5, 1.125, 'F(1,5) = 1,125']
```

## Por que a continuidade importa

Seja $f(t) = 0$ para $t < 0$ e $f(t) = 1$ para $t \ge 0$, e seja $F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt$. A área acumulada é

$$F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ x & x \ge 0 \end{cases}$$

que tem um bico em $x = 0$. Então $F'(0)$ não existe e, com certeza, não é igual a $f(0) = 1$. A integral continua fazendo sentido, mas no salto a conclusão $F' = f$ falha. Longe do salto, onde $f$ é contínua, $F' = f$ continua valendo.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: a forma básica.**

$$\frac{d}{dx}\int_1^x \sqrt{1 + t^3}\,dt = \sqrt{1 + x^3}$$

Não é preciso integrar, e nem seria possível em termos elementares. Troque $t$ por $x$ e pronto.

**Exemplo 2: limite superior como função de $x$ (regra da cadeia).** Encontre $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$.

**Passo 1.** Seja $u = x^2$. Então a integral é $G(u) = \int_0^u \cos t\,dt$ e, pelo TFC 1, $G'(u) = \cos u$.

**Passo 2.** Pela [regra da cadeia](/blog/chain-rule), $\frac{d}{dx}G(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x$.

$$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt = 2x\cos(x^2)$$

Verificação: a integral é igual a $\sin(x^2)$, cuja derivada é $2x\cos(x^2)$.

**Exemplo 3: os dois limites dependem de $x$.** Encontre $\frac{d}{dx}\int_x^{2x} e^{t^2}\,dt$.

**Passo 1.** Divida em uma constante: $\int_x^{2x} = \int_0^{2x} - \int_0^{x}$.

**Passo 2.** Derive cada parte com o TFC 1 e a regra da cadeia:

$$\frac{d}{dx}\int_x^{2x} e^{t^2}\,dt = e^{(2x)^2}\cdot 2 - e^{x^2}\cdot 1 = 2e^{4x^2} - e^{x^2}$$

**Exemplo 4: limite inferior com $x$.** Inverta os limites primeiro: $\frac{d}{dx}\int_x^5 \sin(t^2)\,dt = \frac{d}{dx}\left(-\int_5^x \sin(t^2)\,dt\right) = -\sin(x^2)$.

## Erros comuns

1. **Esquecer o fator da regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ é $2x\cos(x^2)$, e não $\cos(x^2)$.
2. **Substituir também o limite inferior.** Para $\int_a^x f(t)\,dt$ com $a$ constante, a resposta é só $f(x)$. O limite inferior constante apenas desloca $F$ por uma constante.
3. **Esquecer o sinal quando $x$ está no limite inferior.** Trocar os limites introduz um sinal de menos.
4. **Tentar integrar primeiro quando isso é impossível.** Integrandos como $e^{t^2}$ não têm primitiva elementar, mas o TFC 1 deriva a integral na hora.

## Por que o TFC 1 importa

O TFC 1 prova que toda função contínua tem uma primitiva, a saber $\int_a^x f(t)\,dt$. É esse fato que faz o [TFC parte 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) funcionar, transformando integrais definidas em uma simples subtração. Ele também define funções importantes, como $\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$. Para a história completa das duas partes, leia o [guia do Teorema Fundamental do Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus), e veja [somas de Riemann](/blog/riemann-sums) para a definição de integral em que ele se apoia.

## Perguntas frequentes

### O que diz o primeiro Teorema Fundamental do Cálculo?

Se $f$ é contínua e $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, então $F'(x) = f(x)$. A derivada da função área acumulada é a função original.

### Como derivar uma integral com x no limite superior?

Substitua $t$ no integrando pelo limite superior. Se o limite superior for $g(x)$ em vez de $x$, multiplique também por $g'(x)$. Por exemplo, $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt = 2x\cos(x^2)$.

### E se os dois limites de integração tiverem x?

Divida a integral em uma constante ou use a fórmula $\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x) - f(h(x))\,h'(x)$.

### Qual a diferença entre a parte 1 e a parte 2 do TFC?

A parte 1 deriva uma integral: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. A parte 2 calcula uma integral definida usando uma primitiva: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.