# Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2: cálculo de integrais

> TFC parte 2: a integral definida de f de a até b é F(b) − F(a) para qualquer primitiva F. Enunciado, gráfico, um contraexemplo importante e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/teoremas/teorema-fundamental-do-calculo-parte-2
Atualizado: 2026-11-03

$$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $$

## Visão geral

- **Também chamado:** Teorema da avaliação, fórmula de Newton-Leibniz
- **Hipóteses:** $f$ é contínua em $[a, b]$, e $F$ é qualquer primitiva de $f$ nesse intervalo ($F' = f$)
- **Conclusão:** $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
- **Notação:** $\big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$
- **Forma da variação total:** $\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$
- **Disciplina:** Cálculo 1

## Pontos principais

- Para calcular $\int_a^b f(x)\,dx$, encontre qualquer primitiva $F$ e calcule $F(b) - F(a)$.
- O $+ C$ se cancela na subtração, então você pode omiti-lo.
- $f$ precisa ser contínua em todo o intervalo $[a, b]$. Uma descontinuidade infinita no interior faz a fórmula dar um resultado sem sentido.
- A integral de uma taxa de variação é a variação total: $\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

O **Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2** (TFC 2), também chamado de teorema da avaliação, diz que uma integral definida pode ser calculada encontrando uma primitiva e subtraindo seus valores nas extremidades. Ele troca o limite de somas de Riemann por uma linha de álgebra.

## Enunciado do TFC parte 2

Suponha que

1. $f$ seja **contínua** em $[a, b]$, e
2. $F$ seja **qualquer primitiva** de $f$ em $[a, b]$, ou seja, $F'(x) = f(x)$.

Então

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

O lado direito costuma ser escrito como $\big[F(x)\big]_a^b$ ou $F(x)\Big|_a^b$.

## O que o TFC 2 significa

A integral definida soma $f(x)\,dx$ ao longo do intervalo. Se $f$ é a taxa de variação de $F$, somar todas as pequenas variações $F'(x)\,dx$ dá a variação total de $F$, que é $F(b) - F(a)$. Esse é o **teorema da variação total**: integre a velocidade para obter o deslocamento, integre uma vazão para obter o volume total.

```graph
title: 'TFC parte 2: a área sob y = sen(x) de 0 a π é igual a 2'
caption: 'Com a primitiva $F(x) = -\cos x$, a área sombreada é $F(\pi) - F(0) = 1 - (-1) = 2$.'
x: [-0.5, 3.6]
y: [-0.5, 1.4]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sen(x)
shade: {expr: sin(x), from: 0, to: 3.14159}
vertical:
  - {x: 3.14159, label: 'x = π'}
```

## Por que a continuidade importa

Considere $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$. Uma primitiva de $x^{-2}$ é $-\frac{1}{x}$, e aplicar a fórmula às cegas dá

$$\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$$

Mas $\frac{1}{x^2} > 0$ em todo lugar, então sua integral não pode ser negativa. O erro: $\frac{1}{x^2}$ não é contínua em $[-1, 1]$ porque explode em $x = 0$, então o TFC 2 não se aplica. Tratada corretamente como uma [integral imprópria](/blog/improper-integrals), ela diverge para $\infty$. Sempre verifique se há descontinuidades dentro do intervalo antes de substituir os limites.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: um polinômio.** Calcule $\int_1^3 (2x + 1)\,dx$.

**Passo 1.** Uma primitiva é $F(x) = x^2 + x$.

**Passo 2.** $F(3) = 9 + 3 = 12$ e $F(1) = 1 + 1 = 2$.

**Passo 3.** $\int_1^3 (2x + 1)\,dx = 12 - 2 = 10$.

Verificação pela geometria: a região é um trapézio com lados paralelos $f(1) = 3$ e $f(3) = 7$ e largura $2$, então sua área é $\frac{3 + 7}{2}\cdot 2 = 10$.

**Exemplo 2: uma integral trigonométrica.** Calcule $\int_0^\pi \sin x\,dx$.

$$\int_0^\pi \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^\pi = -\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$$

Essa é a área sob um arco da senoide, mostrada no gráfico acima.

**Exemplo 3: um logaritmo.** Calcule $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$.

$\frac{1}{x}$ é contínua em $[1, e]$, e uma primitiva é $\ln x$. Então

$$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$$

**Exemplo 4: variação total.** Um tanque enche a uma taxa de $r(t) = 3t^2$ litros por minuto. Entre $t = 1$ e $t = 2$ minutos, o volume aumenta

$$\int_1^2 3t^2\,dt = \big[t^3\big]_1^2 = 8 - 1 = 7 \text{ liters}$$

ou seja, 7 litros.

## Erros comuns

1. **Subtrair na ordem errada.** É $F(b) - F(a)$, o limite superior primeiro.
2. **Esquecer os parênteses.** Com $F(x) = x^2 - 3x$, escreva $F(b) - F(a) = (b^2 - 3b) - (a^2 - 3a)$. Perder os parênteses troca sinais.
3. **Ignorar descontinuidades.** Como mostrado acima, um integrando que explode dentro de $[a, b]$ exige técnicas de integral imprópria.
4. **Confundir área com área com sinal.** O TFC 2 dá a área com sinal: regiões abaixo do eixo $x$ contam como negativas. Para a área total, divida onde $f$ muda de sinal, como em [área entre curvas](/blog/area-between-curves).

## Como o TFC 2 se liga ao TFC 1

O [TFC parte 1](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) diz que $G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ é uma primitiva de $f$. Qualquer outra primitiva difere de $G$ por uma constante (uma consequência do [Teorema do Valor Médio](/theorems/mean-value-theorem)), então $F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = \int_a^b f(t)\,dt$. Essa é toda a demonstração da parte 2.

Para encontrar primitivas, veja [antiderivadas](/blog/antiderivatives) e [substituição (mudança de variável)](/blog/u-substitution). Para as duas partes do teorema com mais exemplos, leia o [guia do Teorema Fundamental do Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Perguntas frequentes

### O que diz o segundo Teorema Fundamental do Cálculo?

Se $f$ é contínua em $[a, b]$ e $F$ é qualquer primitiva de $f$, então $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Uma integral definida pode ser calculada a partir de uma primitiva, em vez de um limite de somas de Riemann.

### Por que não precisa do +C na integral definida?

Se você usar $F(x) + C$, o resultado é $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. A constante se cancela, então qualquer primitiva dá a mesma resposta.

### O Teorema Fundamental do Cálculo pode dar uma resposta errada?

Só se você ignorar a hipótese. Para $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$, o cálculo ingênuo dá $-2$, o que é impossível para um integrando positivo. O integrando não é contínuo em $0$, então o teorema não se aplica e a integral, na verdade, diverge.

### Para calcular integrais usa-se a parte 1 ou a parte 2 do TFC?

A parte 2. A parte 1 trata de derivar uma integral com limite variável, enquanto a parte 2 é a fórmula $F(b) - F(a)$ usada para calcular integrais definidas.