Derivada de la función inversa: fórmula y ejemplos resueltos
La derivada de la función inversa: la derivada de f⁻¹ en x es 1/f'(f⁻¹(x)). La fórmula, por qué las pendientes son recíprocas y ejemplos con arcsen y ln.
Reglas de derivación Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Se aplica a
- Una función f inyectiva y derivable, en los puntos donde f'(f^{-1}(x)) \ne 0
- Forma puntual
- Si f(a) = b, entonces (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}
- Forma de Leibniz
- \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}
- Significado gráfico
- Reflejar respecto a y = x intercambia el avance vertical y el horizontal, así que las pendientes se vuelven recíprocas
- Permite obtener
- Las derivadas de \ln x, \sqrt{x}, \arcsin x y \arctan x
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La regla de la derivada de la función inversa da la derivada de una función inversa a partir de la derivada de la función original. Si f tiene pendiente m en el punto (a, b), entonces f^{-1} tiene pendiente \frac{1}{m} en el punto simétrico (b, a). Para usarla no necesitas la fórmula de la inversa.
La fórmula de la derivada de la función inversa
Sea f una función inyectiva y derivable, con inversa f^{-1}. Si f'(f^{-1}(x)) \ne 0, entonces f^{-1} es derivable en x y
La forma puntual suele ser más cómoda. Si f(a) = b y f'(a) \ne 0:
En notación de Leibniz, con y = f(x) y x = f^{-1}(y), se escribe \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}.
Por qué funciona la regla
Parte de la identidad f(f^{-1}(x)) = x y deriva ambos lados con la regla de la cadena:
Divide entre f'(f^{-1}(x)) y obtienes la regla. Geométricamente, reflejar una gráfica respecto a y = x intercambia x e y, lo que intercambia el avance vertical y el horizontal, así que cada pendiente se convierte en su recíproca.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: sin fórmula para la inversa. Sea f(x) = x^3 + x + 1, que es creciente y, por tanto, inyectiva. Calcula (f^{-1})'(3).
Paso 1. Resuelve f(a) = 3: a^3 + a + 1 = 3 da a = 1.
Paso 2. Deriva: f'(x) = 3x^2 + 1, así que f'(1) = 4.
Paso 3. Toma el recíproco: (f^{-1})'(3) = \frac{1}{4}.
Ejemplo 2: la derivada de \ln x. Aquí f(x) = e^x, f'(x) = e^x y f^{-1}(x) = \ln x:
Ejemplo 3: la derivada de \arcsin x. Aquí f(x) = \sin x en \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], así que f'(x) = \cos x:
El último paso usa \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta}, que es positivo en ese intervalo. Consulta arcoseno.
Ejemplo 4: la derivada de \arctan x. Con f(x) = \tan x y f'(x) = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x:
Derivadas que se obtienen con la regla
| Función f | Inversa f^{-1} | Derivada de la inversa |
|---|---|---|
| x^2 para x \ge 0 | \sqrt{x} | \frac{1}{2\sqrt{x}} |
| e^x | \ln x | \frac{1}{x} |
| \sin x | \arcsin x | \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} |
| \cos x | \arccos x | -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} |
| \tan x | \arctan x | \frac{1}{1 + x^2} |
Errores comunes
- Evaluar f' en el punto equivocado. (f^{-1})'(b) usa f'(a) con f(a) = b, no f'(b). En el ejemplo 1, f'(3) = 28 daría el resultado incorrecto \frac{1}{28}.
- Confundir f^{-1} con \frac{1}{f}. f^{-1} es la función inversa, no la recíproca. \sin^{-1}x significa \arcsin x, no \csc x.
- Ignorar dónde f' = 0. Si f'(a) = 0, la inversa tiene una tangente vertical en b y no es derivable allí. Para f(x) = x^3, la inversa \sqrt[3]{x} no es derivable en 0.
El mismo resultado se obtiene con la derivación implícita: escribe x = f(y) y deriva ambos lados. Para saber más sobre \ln x y e^x, lee la guía de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
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