Teoremas del cálculo
Los teoremas que sostienen el cálculo, enunciados con precisión, explicados con palabras sencillas y mostrados con gráficas y ejemplos.
Teoremas de límites y continuidad
Los teoremas que hacen que los límites y las funciones continuas se comporten bien.
Teorema del sándwich
g(x) \le f(x) \le h(x) \implies \lim_{x \to a} f(x) = L
El teorema del sándwich (del emparedado): si g ≤ f ≤ h cerca de a y g y h tienen el mismo límite L, f también tiende a L. Enunciado, gráfica y ejemplos.
Teorema del valor intermedio
f(c) = N \text{ para algún } c \in (a, b)
El teorema del valor intermedio: una función continua en [a, b] toma todos los valores entre f(a) y f(b). Enunciado, gráfica, contraejemplos y ejemplos.
Teorema del Valor Extremo
f(c) \le f(x) \le f(d) \text{ para todo } x \in [a, b]
El Teorema del Valor Extremo: una función continua en un intervalo cerrado [a, b] alcanza un máximo y un mínimo absolutos. Enunciado, gráfica y ejemplos.
Teoremas del cálculo diferencial
Teoremas sobre derivadas, valores extremos y tasas de cambio.
Teorema de Rolle
f'(c) = 0 \text{ para algún } c \in (a, b)
Teorema de Rolle: si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b), entonces f'(c) = 0 para algún c. Gráfica, contraejemplos y ejemplos.
Teorema del valor medio
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
El teorema del valor medio: una función suave en [a, b] tiene un punto donde la pendiente de la tangente es igual a la pendiente media. Enunciado y ejemplos.
Teorema de Fermat
f'(c) = 0
Teorema de Fermat: si f tiene un máximo o mínimo local en c y existe f'(c), entonces f'(c) = 0. Enunciado, gráfica, por qué falla el recíproco y ejemplos.
Teoremas del cálculo integral
El Teorema Fundamental del Cálculo y los teoremas que se construyen sobre él.
Teorema Fundamental del Cálculo, parte 1
\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x)
TFC parte 1: si f es continua, la derivada de la integral de a a x de f(t) dt es f(x). Enunciado, gráfica, versión con regla de la cadena y ejemplos resueltos.
Teorema Fundamental del Cálculo, parte 2
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
TFC parte 2: la integral definida de f de a a b es F(b) − F(a) para cualquier antiderivada F. Enunciado, gráfica, un contraejemplo clave y ejemplos resueltos.
Teorema del valor medio para integrales
f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx
El teorema del valor medio para integrales: una función continua en [a, b] alcanza su valor promedio en algún c. Enunciado, gráfica, contraejemplo y ejemplos.
Teoremas de series y varias variables
El teorema de Taylor, resultados de convergencia y los grandes teoremas de Cálculo 3.
Teorema de Taylor
f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}
El teorema de Taylor con el resto de Lagrange: qué tan cerca está un polinomio de Taylor de f(x). Enunciado, cota del error, gráfica y ejemplos con e y sen x.
Teorema de Clairaut
f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)
Teorema de Clairaut (o de Schwarz): si las derivadas parciales cruzadas f_xy y f_yx son continuas, son iguales. Enunciado, contraejemplo, gráfica y ejemplos.
Teorema de Green
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA
El teorema de Green convierte una integral de línea sobre una curva cerrada en una integral doble sobre la región interior. Enunciado, área y ejemplos.
Teorema de la divergencia
\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV
El teorema de la divergencia: el flujo saliente de un campo vectorial por una superficie cerrada es la integral triple de su divergencia. Enunciado y ejemplos.
Teorema de Stokes
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}
Teorema de Stokes: la circulación de un campo en una curva cerrada es igual al flujo de su rotacional a través de una superficie con ese borde.
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