Funciones en cálculo

Función constante f(x) = c La función constante f(x) = c: su gráfica como recta horizontal, por qué su derivada es 0, su integral cx + C, límites y errores comunes con constantes. Función lineal f(x) = mx + b La función lineal f(x) = mx + b: pendiente y ordenada al origen, su gráfica recta, por qué su derivada es la pendiente m, su integral y ejemplos resueltos. Función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \ne 0 La función cuadrática f(x) = ax² + bx + c: gráfica de la parábola, fórmula del vértice, raíces, derivada 2ax + b, integral y ejemplos resueltos. Funciones potencia f(x) = x^n Funciones potencia f(x) = xⁿ con n entero, negativo o fraccionario: gráficas, dominios, la derivada nxⁿ⁻¹, la integral y la excepción n = -1. Funciones polinómicas f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 Funciones polinómicas: grado, término principal, comportamiento en los extremos, raíces y puntos de giro, y cómo derivar e integrar cualquier polinomio. Funciones racionales f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad Q(x) \ne 0 Funciones racionales P(x)/Q(x): dominio, asíntotas verticales y horizontales, huecos, derivadas con la regla del cociente e integrales por fracciones parciales. Función recíproca f(x) = \frac{1}{x} La función recíproca 1/x: su gráfica (una hipérbola) y sus asíntotas, la derivada -1/x², por qué su integral es ln|x| + C y sus límites laterales. Función raíz cuadrada f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} La función raíz cuadrada f(x) = √x: su dominio y su gráfica, la derivada 1/(2√x), la integral (2/3)x^(3/2) + C y la tangente vertical en 0. Función valor absoluto f(x) = |x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} La función valor absoluto |x|: su gráfica en forma de V, por qué es continua pero no derivable en 0, su derivada x/|x| y su integral.

Función exponencial natural f(x) = e^x La función exponencial natural e^x: qué es el número e, su gráfica, por qué es su propia derivada e integral, límites clave, serie y ejemplos resueltos. Funciones exponenciales f(x) = b^x, \quad b > 0,\ b \ne 1 Funciones exponenciales f(x) = b^x: gráficas de crecimiento y decrecimiento, propiedades, la derivada b^x ln b, la integral b^x / ln b + C y ejemplos resueltos. Logaritmo natural f(x) = \ln x El logaritmo natural ln x: su gráfica, las propiedades de los logaritmos, por qué su derivada es 1/x, la integral x ln x - x + C y ejemplos resueltos. Funciones logarítmicas f(x) = \log_b x, \quad b > 0,\ b \ne 1 Funciones logarítmicas log_b x: definición, gráficas, propiedades de los logaritmos, cambio de base, la derivada 1/(x ln b), la integral y ejemplos resueltos.

Función seno f(x) = \sin x La función seno sin(x): su gráfica, dominio, rango, periodo, valores clave, la derivada cos(x), su integral y los errores que cometen los estudiantes. Función coseno f(x) = \cos x La función coseno cos(x): su gráfica, dominio, rango, periodo, valores clave, derivada −sen(x), integral sen(x) + C y errores comunes. Función tangente f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} La función tangente tan(x) = sen(x)/cos(x): su gráfica, asíntotas verticales, periodo π, derivada sec²(x), integral ln|sec x| + C y ejemplos. Secante, cosecante y cotangente \sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} Las funciones trigonométricas recíprocas sec x, csc x y cot x: definiciones, gráficas, asíntotas, sus derivadas e integrales, con ejemplos resueltos.

Arcoseno f(x) = \arcsin x = \sin^{-1} x La función arcoseno arcsin(x), inversa del seno: dominio [−1, 1], rango [−π/2, π/2], gráfica, derivada 1/√(1−x²), integral y ejemplos. Arcocoseno f(x) = \arccos x = \cos^{-1} x La función arcocoseno arccos(x), inversa del coseno: dominio [−1, 1], rango [0, π], gráfica, derivada −1/√(1−x²), integral y ejemplos. Arcotangente f(x) = \arctan x = \tan^{-1} x La función arcotangente arctan(x), inversa de la tangente: dominio todos los reales, rango (−π/2, π/2), gráfica, derivada 1/(1+x²), integral y ejemplos.

Funciones hiperbólicas \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} Las funciones hiperbólicas senh x, cosh x y tanh x: definiciones con exponenciales, gráficas, identidades, derivadas, integrales y ejemplos resueltos.

Funciones definidas por partes f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x < a \\ f_2(x) & x \ge a \end{cases} Funciones definidas por partes: cómo leerlas y graficarlas, calcular límites laterales, estudiar continuidad y derivabilidad, e integrar entre tramos. Funciones piso y techo \lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \le x\}, \quad \lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \ge x\} La función piso ⌊x⌋ (parte entera) y la función techo ⌈x⌉: definiciones, gráficas escalonadas, límites laterales, continuidad, derivada y cómo integrarlas.