Reglas del cálculo

Leyes de los límites \lim_{x \to a}\,[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) Las leyes de los límites permiten dividir un límite en límites más sencillos. Cada ley con sus condiciones, ejemplos resueltos y los errores más comunes. Sustitución directa \lim_{x \to a} f(x) = f(a) La sustitución directa calcula un límite reemplazando x por el valor. Aprende cuándo funciona, cómo leer el resultado y qué hacer con 0/0 o a/0. Regla de L'Hôpital \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} La regla de L'Hôpital calcula límites 0/0 e ∞/∞ derivando el numerador y el denominador. Las condiciones exactas, ejemplos resueltos y otras indeterminaciones.

Regla de la constante \frac{d}{dx}\, c = 0 La regla de la constante dice que la derivada de cualquier constante es 0. La fórmula, una demostración de una línea, ejemplos con π y e, y errores comunes. Regla de la potencia \frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1} La regla de la potencia: la derivada de x^n es n·x^(n−1). Fórmula, ejemplos con exponentes negativos y fraccionarios, demostración breve y errores comunes. Regla del múltiplo constante \frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x) La regla del múltiplo constante: la derivada de c·f(x) es c·f'(x). La fórmula, ejemplos resueltos, una demostración breve y los errores más comunes. Regla de la suma y la diferencia \frac{d}{dx}\,[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) La regla de la suma y la diferencia: deriva una suma o una resta término a término. La fórmula, ejemplos resueltos, una demostración y los errores más comunes. Regla del producto \frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) La regla del producto: la derivada de f·g es f'g + fg'. La fórmula, ejemplos resueltos, la versión con tres factores, una demostración breve y errores comunes. Regla del cociente \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} La regla del cociente: (f/g)' = (f'g − fg')/g². La fórmula, un truco para recordarla, ejemplos resueltos, cuándo evitarla y errores comunes. Regla de la cadena \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) La regla de la cadena: la derivada de f(g(x)) es f'(g(x))·g'(x). La fórmula en ambas notaciones, tabla de casos comunes, ejemplos resueltos y errores. Derivación implícita \frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx} La derivación implícita calcula dy/dx sin despejar y. La regla clave, un método en cuatro pasos, ejemplos con rectas tangentes y errores comunes. Derivación logarítmica \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big] Derivación logarítmica: toma ln en ambos lados, deriva y multiplica por y. Pasos y ejemplos con x^x, potencias variables y productos complicados. Derivada de la función inversa (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)} La derivada de la función inversa: la derivada de f⁻¹ en x es 1/f'(f⁻¹(x)). La fórmula, por qué las pendientes son recíprocas y ejemplos con arcsen y ln.

Regla de la potencia para integrales \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1 La regla de la potencia para integrales: la integral de x^n es x^(n+1)/(n+1) + C si n ≠ −1. Ejemplos con raíces y potencias negativas, y la excepción ln|x|. Linealidad de la integral \int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx La linealidad de la integral: integra las sumas término a término y saca las constantes fuera. Fórmulas, ejemplos y errores con productos y cocientes. Integración por sustitución \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) La integración por sustitución invierte la regla de la cadena: ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du. Fórmula, cómo elegir u, cambio de límites y ejemplos. Integración por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du La fórmula de integración por partes ∫u dv = uv − ∫v du, cómo elegir u con LIATE, la versión para integrales definidas y ejemplos con ln x, x·eˣ y x·cos x. Propiedades de la integral definida \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx Las propiedades de la integral definida: invertir los límites, intervalo nulo, aditividad, simetría de funciones pares e impares y acotación, con ejemplos.

Fórmula de la serie geométrica \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1 La fórmula de la serie geométrica: a + ar + ar² + ... = a/(1 − r) si |r| < 1. Sumas parciales, condición de convergencia y ejemplos resueltos. Criterio del término n-ésimo \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ diverge} El criterio del término n-ésimo: si los términos de una serie no tienden a 0, la serie diverge. Enunciado, por qué no prueba convergencia y ejemplos. Criterio del cociente L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert El criterio del cociente: calcula L = lim |a(n+1)/a(n)|. Si L < 1 la serie converge absolutamente, si L > 1 diverge, y si L = 1 no es concluyente. Criterio de series alternadas b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ converge} El criterio de series alternadas (criterio de Leibniz): si bₙ decrece a 0, la serie de (−1)ⁿbₙ converge. Condiciones, cota del error y ejemplos.