Como calcular limites: 5 métodos com exemplos resolvidos

Você sabe o que um limite significa, mas quando a lista de exercícios diz "calcule \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}", o que você faz na prática? A boa notícia é que quase todo limite de um primeiro curso de cálculo se resolve com uma das poucas técnicas disponíveis, e existe um jeito confiável de escolher a certa.

Este guia apresenta cada método, um exemplo totalmente resolvido para cada um e um roteiro de decisão (em palavras) que você pode seguir em qualquer prova.

A primeira regra: sempre tente a substituição direta

A maioria das funções que você encontra (polinômios, funções racionais, raízes, trigonométricas, exponenciais e logaritmos) é contínua onde está definida. Para uma função contínua, o limite é simplesmente o valor da função:

Então o primeiro passo é sempre o mesmo: substitua a e veja o que acontece. Há apenas três resultados possíveis:

Exemplo resolvido 1: substituição direta

Calcule \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1).

Passo 1. Substitua. 2^2 + 3(2) - 1 = 4 + 6 - 1 = 9.

Passo 2. Confira o resultado. É um número real, então

O mesmo funciona para \lim_{x \to \pi} \cos x = \cos \pi = -1 e \lim_{x \to 1} \frac{x + 4}{x + 1} = \frac{5}{2}. Se a substituição funciona, nenhuma outra técnica é necessária.

Método 2: fatorar e cancelar

Quando a substituição produz \frac{0}{0}, o numerador e o denominador se anulam em x = a. Para polinômios, isso significa que os dois contêm o fator (x - a). Coloque-o em evidência, cancele e substitua de novo.

Cancelar é permitido porque um limite com x \to a nunca usa o próprio x = a, então x - a \neq 0 durante todo o cálculo.

Exemplo resolvido 2: uma diferença de quadrados

Calcule \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}.

Passo 1. Substitua. \frac{9 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}. Indeterminação, então simplifique.

Passo 2. Fatore. x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).

Passo 3. Cancele o fator comum.

Passo 4. Substitua de novo.

Exemplo resolvido 3: fatorando um trinômio

Calcule \lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}.

Passo 1. Substitua. Numerador: 4 - 10 + 6 = 0. Denominador: 4 - 4 = 0. Indeterminação.

Passo 2. Fatore os dois. x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) e x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2).

Passo 3. Cancele e substitua.

Dica: se a substituição dá \frac{0}{0} em x = a para um quociente de polinômios, você sabe que (x - a) é fator do numerador e do denominador. Use isso para guiar a fatoração (ou a divisão de polinômios).

Método 3: racionalizar com o conjugado

Quando o \frac{0}{0} vem de uma raiz quadrada numa soma ou diferença, fatorar não ajuda. Em vez disso, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado. O conjugado de \sqrt{A} - B é \sqrt{A} + B, e o produto dos dois é A - B^2, que não tem raiz.

Exemplo resolvido 4: racionalizando o numerador

Calcule \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}.

Passo 1. Substitua. \frac{\sqrt{4} - 2}{0} = \frac{0}{0}. Indeterminação.

Passo 2. Multiplique pelo conjugado sobre ele mesmo.

Passo 3. Simplifique o numerador. (x+4) - 4 = x, então a expressão fica

Passo 4. Substitua de novo.

Repare que, de propósito, não multiplicamos o denominador. Deixar x(\sqrt{x+4}+2) fatorado é o que tornou o cancelamento visível.

Método 4: limites trigonométricos fundamentais

Expressões trigonométricas muitas vezes dão \frac{0}{0} de um jeito que nenhuma álgebra resolve. Para elas, você conta com dois limites padrão, ambos com x em radianos:

O primeiro costuma ser demonstrado com o Teorema do Confronto e uma figura do círculo trigonométrico. O gráfico mostra o que ele diz: \frac{\sin x}{x} não está definida em 0, mas vai direto para 1.

O truque com esses limites é fazer o argumento do seno coincidir exatamente com o denominador.

Exemplo resolvido 5: ajustando o argumento

Calcule \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}.

Passo 1. Substitua. \frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}.

Passo 2. Faça o denominador coincidir com o argumento. Multiplique o numerador e o denominador por 5:

Passo 3. Use o limite fundamental. Quando x \to 0, u = 5x \to 0 também, então \frac{\sin(5x)}{5x} \to 1:

A mesma ideia dá \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\sin(7x)} = \frac{3}{7} (escreva como \frac{3}{7} \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{7x}{\sin 7x}) e \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 (escreva \frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}, que se aproxima de 1 \cdot 1).

Método 5: número diferente de zero sobre zero indica uma assíntota

Se a substituição dá um número diferente de zero sobre 0, nenhuma álgebra vai produzir um limite finito. A função explode. O seu trabalho é descobrir o sentido de cada lado.

Exemplo resolvido 6: verificando os sinais

Calcule \lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x - 2}.

Passo 1. Substitua. \frac{3}{0}. Diferente de zero sobre zero, então há uma assíntota vertical em x = 2.

Passo 2. Lado direito. Para x um pouco maior que 2 (digamos 2.01), o numerador vale cerca de 3 e o denominador é um número positivo minúsculo, então a fração é um número positivo enorme: \lim_{x \to 2^+} = +\infty.

Passo 3. Lado esquerdo. Para x um pouco menor que 2, o denominador é um número negativo minúsculo, então \lim_{x \to 2^-} = -\infty.

Passo 4. Conclua. Os lados discordam, então \lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x - 2} não existe. (Se os dois lados tivessem ido para +\infty, como em \frac{1}{(x-2)^2}, você escreveria +\infty.)

Um roteiro de decisão para qualquer limite

Aqui está o processo inteiro como uma sequência de perguntas. Siga na ordem.

1. x está indo para \pm\infty? Se sim, é um limite no infinito: compare as maiores potências (veja limites no infinito).
2. A função é definida por partes ou tem módulo? Se sim, calcule os limites à esquerda e à direita separadamente e compare.
3. Substitua. Se der um número real, essa é a resposta. Pare.
4. Deu \frac{k}{0} com k \neq 0? Assíntota vertical. Verifique o sinal de cada lado.
5. Deu \frac{0}{0}? Observe o que a expressão contém:
   • Polinômios: fatore e cancele.
   • Uma raiz quadrada numa soma ou diferença: multiplique pelo conjugado.
   • Frações dentro de frações: reduza ao mesmo denominador e depois cancele.
   • \sin, \cos ou \tan de algo que tende a 0: use os limites trigonométricos fundamentais.
6. Ainda travado, e já sabe derivar? Use a regra de L'Hôpital.
7. Depois de simplificar, volte ao passo 3 e substitua de novo.

Erros comuns ao calcular limites

1. Escrever "= \frac{0}{0}" como resposta. \frac{0}{0} significa "continue", nunca "o limite não está definido".
2. Tirar o símbolo \lim cedo demais. Escreva \lim_{x \to a} em todas as linhas até realmente substituir. Muitos professores descontam pontos por \frac{x^2-9}{x-3} = x + 3 = 6, que é falso do jeito que está escrito.
3. Cancelar termos em vez de fatores. Em \frac{x^2 - 9}{x - 3} você não pode cancelar os x nem o 9 com o 3. Só fatores inteiros se cancelam.
4. Usar graus. \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 só é verdade em radianos.
5. Esquecer de verificar os dois lados numa assíntota. Só o \frac{k}{0} não diz o sinal do infinito.

Referência rápida

Torne esses métodos automáticos

Reconhecer qual técnica um limite pede é uma habilidade de reconhecimento de padrões, e padrões vêm da repetição. A lição interativa abaixo traz uma sequência constante de problemas de fatorar e cancelar, confere cada passo na hora e mostra a resolução completa sempre que você travar. Dez minutos de prática vão tornar o roteiro acima algo natural.