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Formulário de cálculo

Todas as derivadas, integrais, regras e teoremas em uma página. Toque em qualquer nome para ver a explicação completa, o gráfico e exemplos resolvidos, ou imprima para revisar.

Derivadas e integrais de funções comuns

Função Derivada Integral
Função constante f(x) = c cx + C
Função afim (linear) f(x) = mx + b \frac{m}{2}x^2 + bx + C
Função quadrática f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \ne 0 \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C
Funções potência f(x) = x^n \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
Funções polinomiais f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \cdots + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C
Funções racionais f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad Q(x) \ne 0 \int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C
Função recíproca f(x) = \frac{1}{x} \ln|x| + C
Função raiz quadrada f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \frac{2}{3}x^{3/2} + C
Função módulo f(x) = |x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} \frac{x|x|}{2} + C
Função exponencial natural f(x) = e^x e^x + C
Funções exponenciais f(x) = b^x, \quad b > 0,\ b \ne 1 \frac{b^x}{\ln b} + C
Logaritmo natural f(x) = \ln x x\ln x - x + C
Funções logarítmicas f(x) = \log_b x, \quad b > 0,\ b \ne 1 \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C
Função seno f(x) = \sin x -\cos x + C
Função cosseno f(x) = \cos x \sin x + C
Função tangente f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \ln\lvert\sec x\rvert + C
Secante, cossecante e cotangente \sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C
Arco-seno f(x) = \arcsin x = \sin^{-1} x x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C
Arco-cosseno f(x) = \arccos x = \cos^{-1} x x\arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C
Arco-tangente f(x) = \arctan x = \tan^{-1} x x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C
Funções hiperbólicas \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} \cosh x + C

Propriedades dos limites

Explicações →
Propriedades dos limites \lim_{x \to a}\,[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) Substituição direta \lim_{x \to a} f(x) = f(a) Regra de L'Hôpital \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Regras de derivação

Explicações →
Regra da constante \frac{d}{dx}\, c = 0 Regra da potência \frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1} Regra da constante multiplicativa \frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x) Regra da soma e da diferença \frac{d}{dx}\,[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) Regra do produto \frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) Regra do quociente \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} Regra da cadeia \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) Derivação implícita \frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx} Derivação logarítmica \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big] Derivada da função inversa (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}

Regras de integração

Explicações →
Regra da potência inversa \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1 Linearidade da integral \int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx Integração por substituição \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) Integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du Propriedades da integral definida \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx

Regras de séries

Explicações →
Fórmula da série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1 Teste do termo geral \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ diverge} Teste da razão L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert Teste da série alternada b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ converge}

Teoremas de limites e continuidade

Explicações →
Teorema do Confronto g(x) \le f(x) \le h(x) \implies \lim_{x \to a} f(x) = L Teorema do Valor Intermediário f(c) = N \text{ para algum } c \in (a, b) Teorema do Valor Extremo f(c) \le f(x) \le f(d) \text{ para todo } x \in [a, b]

Teoremas do cálculo diferencial

Explicações →
Teorema de Rolle f'(c) = 0 \text{ para algum } c \in (a, b) Teorema do Valor Médio f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} Teorema de Fermat f'(c) = 0

Teoremas do cálculo integral

Explicações →
Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1 \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x) Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2 \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) Teorema do Valor Médio para integrais f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx

Teoremas de séries e várias variáveis

Explicações →
Teorema de Taylor f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1} Teorema de Clairaut f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b) Teorema de Green \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA Teorema da divergência \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV Teorema de Stokes \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}

Aprenda na prática

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