Comment calculer une limite : 5 méthodes avec exemples corrigés

Vous savez ce que signifie une limite, mais quand un exercice dit « calculez \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} », que faites-vous concrètement ? La bonne nouvelle, c'est que presque toutes les limites d'un premier cours d'analyse cèdent devant une poignée de techniques, et qu'il existe une façon fiable de choisir la bonne.

Ce guide vous donne chaque méthode, un exemple entièrement corrigé pour chacune, et un arbre de décision (en mots) que vous pouvez suivre à n'importe quel examen.

La première règle : toujours essayer la substitution directe

La plupart des fonctions que vous rencontrez (polynômes, fonctions rationnelles, racines, fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmes) sont continues partout où elles sont définies. Pour une fonction continue, la limite est simplement la valeur de la fonction :

Le premier geste est donc toujours le même : remplacez par a et regardez ce qui se passe. Il n'y a que trois issues possibles :

Exemple corrigé 1 : substitution directe

Calculez \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1).

Étape 1. Substituer. 2^2 + 3(2) - 1 = 4 + 6 - 1 = 9.

Étape 2. Vérifier le résultat. C'est un nombre réel, donc

De même, \lim_{x \to \pi} \cos x = \cos \pi = -1 et \lim_{x \to 1} \frac{x + 4}{x + 1} = \frac{5}{2}. Si la substitution marche, aucune autre technique n'est nécessaire.

Méthode 2 : factoriser et simplifier

Quand la substitution donne \frac{0}{0}, le numérateur et le dénominateur s'annulent tous les deux en x = a. Pour des polynômes, cela signifie que les deux contiennent le facteur (x - a). Mettez-le en facteur, simplifiez-le, et substituez de nouveau.

Cette simplification est légitime, car une limite quand x \to a n'utilise jamais x = a lui-même, donc x - a \neq 0 pendant tout le calcul.

Exemple corrigé 2 : une différence de deux carrés

Calculez \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}.

Étape 1. Substituer. \frac{9 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}. Forme indéterminée, donc on simplifie.

Étape 2. Factoriser. x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).

Étape 3. Simplifier le facteur commun.

Étape 4. Substituer de nouveau.

Exemple corrigé 3 : factoriser un trinôme

Calculez \lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}.

Étape 1. Substituer. Numérateur : 4 - 10 + 6 = 0. Dénominateur : 4 - 4 = 0. Forme indéterminée.

Étape 2. Factoriser les deux. x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) et x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2).

Étape 3. Simplifier et substituer.

Astuce : si la substitution donne \frac{0}{0} en x = a pour un quotient de polynômes, vous savez que (x - a) est un facteur du numérateur et du dénominateur. Servez-vous-en pour guider votre factorisation (ou une division de polynômes).

Méthode 3 : multiplier par l'expression conjuguée

Quand le \frac{0}{0} vient d'une racine carrée dans une somme ou une différence, factoriser ne sert à rien. Multipliez plutôt le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée. L'expression conjuguée de \sqrt{A} - B est \sqrt{A} + B, et leur produit vaut A - B^2, sans racine.

Exemple corrigé 4 : la conjuguée au numérateur

Calculez \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}.

Étape 1. Substituer. \frac{\sqrt{4} - 2}{0} = \frac{0}{0}. Forme indéterminée.

Étape 2. Multiplier en haut et en bas par la conjuguée.

Étape 3. Simplifier le numérateur. (x+4) - 4 = x, donc l'expression devient

Étape 4. Substituer de nouveau.

Remarquez qu'on n'a volontairement pas développé le dénominateur. Laisser x(\sqrt{x+4}+2) sous forme factorisée est ce qui a rendu la simplification visible.

Méthode 4 : les limites trigonométriques usuelles

Les expressions trigonométriques donnent souvent \frac{0}{0} d'une façon qu'aucune manipulation algébrique ne peut démêler. Pour celles-ci, on s'appuie sur deux limites classiques, toutes deux avec x en radians :

La première se démontre en général avec le théorème des gendarmes et une figure du cercle trigonométrique. Le graphique montre ce qu'elle dit : \frac{\sin x}{x} n'est pas définie en 0, mais elle tend tout droit vers 1.

L'astuce avec ces limites est de faire correspondre exactement l'argument du sinus et le dénominateur.

Exemple corrigé 5 : ajuster l'argument

Calculez \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}.

Étape 1. Substituer. \frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}.

Étape 2. Faire correspondre le dénominateur à l'argument. Multipliez en haut et en bas par 5 :

Étape 3. Utiliser la limite usuelle. Quand x \to 0, u = 5x \to 0 aussi, donc \frac{\sin(5x)}{5x} \to 1 :

La même idée donne \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\sin(7x)} = \frac{3}{7} (écrivez-la \frac{3}{7} \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{7x}{\sin 7x}) et \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 (écrivez \frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}, qui tend vers 1 \cdot 1).

Méthode 5 : un nombre non nul sur zéro signale une asymptote

Si la substitution donne un nombre non nul sur 0, aucune manipulation algébrique ne produira une limite finie. La fonction explose. Votre travail est de trouver la direction de chaque côté.

Exemple corrigé 6 : étudier les signes

Calculez \lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x - 2}.

Étape 1. Substituer. \frac{3}{0}. Un nombre non nul sur zéro, donc il y a une asymptote verticale en x = 2.

Étape 2. Côté droit. Pour x légèrement supérieur à 2 (par exemple 2.01), le numérateur vaut environ 3 et le dénominateur est un tout petit nombre positif, donc la fraction est un nombre positif énorme : \lim_{x \to 2^+} = +\infty.

Étape 3. Côté gauche. Pour x légèrement inférieur à 2, le dénominateur est un tout petit nombre négatif, donc \lim_{x \to 2^-} = -\infty.

Étape 4. Conclure. Les deux côtés ne concordent pas, donc \lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x - 2} n'existe pas. (Si les deux côtés étaient allés vers +\infty, comme pour \frac{1}{(x-2)^2}, on écrirait +\infty.)

Un arbre de décision pour n'importe quelle limite

Voici toute la démarche sous forme d'une suite de questions. Parcourez-les dans l'ordre.

1. x tend-il vers \pm\infty ? Si oui, c'est une limite à l'infini : comparez les plus hautes puissances (voir limites à l'infini).
2. La fonction est-elle définie par morceaux, ou contient-elle une valeur absolue ? Si oui, calculez séparément les limites à gauche et à droite et comparez-les.
3. Substituez. Si vous obtenez un nombre réel, c'est la réponse. Arrêtez-vous.
4. Vous obtenez \frac{k}{0} avec k \neq 0 ? Asymptote verticale. Vérifiez le signe de chaque côté.
5. Vous obtenez \frac{0}{0} ? Regardez ce que contient l'expression :
   • Des polynômes : factorisez et simplifiez.
   • Une racine carrée dans une somme ou une différence : multipliez par l'expression conjuguée.
   • Des fractions dans des fractions : réduisez au même dénominateur, puis simplifiez.
   • \sin, \cos ou \tan de quelque chose qui tend vers 0 : utilisez les limites trigonométriques usuelles.
6. Toujours bloqué, et vous connaissez les dérivées ? Utilisez la règle de L'Hôpital.
7. Après simplification, revenez à l'étape 3 et substituez de nouveau.

Les erreurs fréquentes en calculant une limite

1. Écrire « = \frac{0}{0} » comme réponse. \frac{0}{0} veut dire « continuez », jamais « la limite n'est pas définie ».
2. Abandonner le symbole \lim trop tôt. Écrivez \lim_{x \to a} à chaque ligne jusqu'au moment où vous substituez réellement. Beaucoup de professeurs retirent des points pour \frac{x^2-9}{x-3} = x + 3 = 6, qui est faux tel qu'écrit.
3. Simplifier des termes au lieu de facteurs. Dans \frac{x^2 - 9}{x - 3}, vous ne pouvez pas simplifier les x ni le 9 avec le 3. Seuls les facteurs entiers se simplifient.
4. Travailler en degrés. \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 n'est vrai qu'en radians.
5. Oublier de vérifier les deux côtés d'une asymptote. \frac{k}{0} seul ne dit pas le signe de l'infini.

Aide-mémoire

Rendez ces méthodes automatiques

Reconnaître la technique dont une limite a besoin est une compétence de reconnaissance de motifs, et les motifs viennent avec la répétition. La leçon interactive ci-dessous vous propose un flux régulier d'exercices où il faut factoriser et simplifier, vérifie chaque étape instantanément et montre la solution complète dès que vous bloquez. Dix minutes d'entraînement suffiront pour que l'arbre de décision ci-dessus devienne une seconde nature.