Regras do cálculo

Propriedades dos limites \lim_{x \to a}\,[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) As propriedades dos limites permitem separar um limite em limites menores. Cada propriedade com suas condições, exemplos resolvidos e os erros comuns. Substituição direta \lim_{x \to a} f(x) = f(a) A substituição direta calcula um limite trocando x pelo valor. Saiba quando funciona, como ler o resultado e o que fazer com 0/0 ou a/0. Regra de L'Hôpital \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} A regra de L'Hôpital calcula limites 0/0 e ∞/∞ derivando o numerador e o denominador. As condições exatas, exemplos e outras indeterminações.

Regra da constante \frac{d}{dx}\, c = 0 A regra da constante diz que a derivada de qualquer constante é 0. A fórmula, uma demonstração de uma linha, exemplos com π e e, e os erros a evitar. Regra da potência \frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1} A regra da potência: a derivada de x^n é n·x^(n−1). Fórmula, exemplos com expoentes negativos e fracionários, uma demonstração curta e erros comuns. Regra da constante multiplicativa \frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x) A regra da constante multiplicativa: a derivada de c·f(x) é c·f'(x). A fórmula, exemplos resolvidos, uma demonstração rápida e os erros mais comuns. Regra da soma e da diferença \frac{d}{dx}\,[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) A regra da soma e da diferença: derive uma soma ou diferença termo a termo. A fórmula, exemplos resolvidos, uma demonstração e onde os alunos erram. Regra do produto \frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) A regra do produto: a derivada de f·g é f'g + fg'. A fórmula, exemplos resolvidos, a versão com três fatores, uma demonstração curta e erros comuns. Regra do quociente \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} A regra do quociente: (f/g)' = (f'g − fg')/g². A fórmula, um macete para memorizar, exemplos resolvidos, quando evitá-la e erros comuns. Regra da cadeia \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) A regra da cadeia: a derivada de f(g(x)) é f'(g(x))·g'(x). A fórmula nas duas notações, tabela de casos comuns, exemplos resolvidos e erros. Derivação implícita \frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx} A derivação implícita encontra dy/dx quando y não está isolado. A regra-chave, um método em quatro passos, exemplos com retas tangentes e erros comuns. Derivação logarítmica \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big] Derivação logarítmica: aplique ln nos dois lados, derive e multiplique por y. Passo a passo e exemplos para x^x, expoentes variáveis e produtos longos. Derivada da função inversa (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)} A regra da função inversa: a derivada de f⁻¹ em x é 1/f'(f⁻¹(x)). A fórmula, por que as inclinações são inversas, exemplos, arcsen e ln.

Regra da potência inversa \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1 A regra da potência inversa: a integral de x^n é x^(n+1)/(n+1) + C para n ≠ −1. Fórmula, exemplos com raízes e potências negativas, e a exceção ln|x|. Linearidade da integral \int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx As regras de linearidade da integral: integre somas termo a termo e tire constantes para fora. Fórmulas, exemplos e os erros com produtos e quocientes. Integração por substituição \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) A integração por substituição inverte a regra da cadeia: ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du. Fórmula, como escolher u, limites na integral definida e exemplos. Integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du A fórmula de integração por partes ∫u dv = uv − ∫v du, como o LIATE escolhe u, a versão para integral definida e exemplos com ln x, x·eˣ e x·cos x. Propriedades da integral definida \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx As propriedades da integral definida: inverter os limites, intervalo de largura zero, aditividade, simetria de funções pares e ímpares e comparação.

Fórmula da série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1 A fórmula da série geométrica: a + ar + ar² + ... = a/(1 − r) quando |r| < 1. Somas parciais, a condição de convergência e exemplos resolvidos. Teste do termo geral \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ diverge} Teste do termo geral: se os termos de uma série não tendem a 0, a série diverge. O enunciado, por que ele não prova convergência e exemplos resolvidos. Teste da razão L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert O teste da razão (critério de d'Alembert): calcule L = lim |a(n+1)/a(n)|. Se L < 1 a série converge absolutamente, se L > 1 diverge, e L = 1 é inconclusivo. Teste da série alternada b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ converge} O teste da série alternada (critério de Leibniz): se bₙ decresce para 0, a série de (−1)ⁿbₙ converge. Condições, estimativa do erro e exemplos.