Teoremas do cálculo
Os teoremas que sustentam o cálculo, enunciados com precisão, explicados em linguagem simples e ilustrados com gráficos e exemplos.
Teoremas de limites e continuidade
Os teoremas que fazem os limites e as funções contínuas se comportarem bem.
Teorema do Confronto
g(x) \le f(x) \le h(x) \implies \lim_{x \to a} f(x) = L
Teorema do Confronto (ou do sanduíche): se g ≤ f ≤ h perto de a e g e h têm o mesmo limite L, então f também tende a L. Enunciado, gráfico e exemplos.
Teorema do Valor Intermediário
f(c) = N \text{ para algum } c \in (a, b)
Teorema do Valor Intermediário: uma função contínua em [a, b] assume todo valor entre f(a) e f(b). Enunciado, gráfico, contraexemplos e exemplos.
Teorema do Valor Extremo
f(c) \le f(x) \le f(d) \text{ para todo } x \in [a, b]
Teorema do Valor Extremo: uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] tem máximo e mínimo absolutos. Enunciado, gráfico, contraexemplos e exemplos.
Teoremas do cálculo diferencial
Teoremas sobre derivadas, valores extremos e taxas de variação.
Teorema de Rolle
f'(c) = 0 \text{ para algum } c \in (a, b)
Teorema de Rolle: se f é contínua em [a, b], diferenciável em (a, b) e f(a) = f(b), então f'(c) = 0 para algum c. Gráfico, contraexemplos e exemplos.
Teorema do Valor Médio
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
Teorema do Valor Médio: uma função suave em [a, b] tem um ponto onde a inclinação da tangente é igual à inclinação média. Enunciado, gráfico e exemplos.
Teorema de Fermat
f'(c) = 0
Teorema de Fermat: se f tem máximo ou mínimo local em c e f'(c) existe, então f'(c) = 0. Enunciado, gráfico, por que a recíproca falha e exemplos.
Teoremas do cálculo integral
O Teorema Fundamental do Cálculo e os teoremas construídos sobre ele.
Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1
\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x)
TFC parte 1: se f é contínua, a derivada da integral de a até x de f(t) dt é f(x). Enunciado, gráfico, versão com regra da cadeia e exemplos resolvidos.
Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
TFC parte 2: a integral definida de f de a até b é F(b) − F(a) para qualquer primitiva F. Enunciado, gráfico, um contraexemplo importante e exemplos.
Teorema do Valor Médio para integrais
f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx
Teorema do Valor Médio para integrais: uma função contínua em [a, b] atinge seu valor médio em algum ponto c. Enunciado, gráfico, contraexemplo e exemplos.
Teoremas de séries e várias variáveis
O teorema de Taylor, resultados de convergência e os grandes teoremas de Cálculo 3.
Teorema de Taylor
f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}
Teorema de Taylor com resto de Lagrange: o quanto um polinômio de Taylor se aproxima de f(x). Enunciado, estimativa do erro, gráfico e exemplos com e e sen x.
Teorema de Clairaut
f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)
Teorema de Clairaut (ou de Schwarz): se as derivadas parciais mistas f_xy e f_yx são contínuas, elas são iguais. Enunciado, contraexemplo e exemplos.
Teorema de Green
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA
O teorema de Green transforma uma integral de linha em uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região interior. Enunciado, hipóteses, área e exemplos.
Teorema da divergência
\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV
Teorema da divergência: o fluxo de um campo vetorial para fora de uma superfície fechada é a integral tripla do divergente. Enunciado e exemplos.
Teorema de Stokes
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}
Teorema de Stokes: a circulação de um campo ao longo de uma curva fechada é igual ao fluxo do rotacional por qualquer superfície que ela limita. Com exemplos.
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