Antiderivadas: regla de la potencia inversa, +C y valor inicial

Puedes derivar x^3 hasta dormido. Ahora la pregunta va al revés: ¿qué función tiene derivada 3x^2? Esa pregunta inversa es el punto de partida del cálculo integral, y sus respuestas, llamadas antiderivadas, salen de aplicar al revés las reglas de derivación que ya conoces.

¿Qué es una antiderivada?

Una función F es una antiderivada (o primitiva) de f si

Por ejemplo, F(x) = x^3 es una antiderivada de f(x) = 3x^2, porque \frac{d}{dx}x^3 = 3x^2.

Pero x^3 + 1 y x^3 - 8 también sirven. Cualquier constante desaparece al derivar. Por eso escribimos la integral indefinida, que reúne todas las antiderivadas a la vez:

El signo \int y el dx van juntos como un par de paréntesis: dx indica que la variable es x, y todo lo que queda entre ellos es la función que estás integrando (el integrando).

¿Por qué se suma +C?

Si F'(x) = f(x), entonces (F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x) para cualquier constante C. Así que una antiderivada da lugar a infinitas, todas desplazamientos verticales unas de otras. (El teorema del valor medio demuestra que en un intervalo no hay otras: dos funciones con la misma derivada difieren en una constante.)

Olvidar el +C no es una simple cuestión de estilo. Significa que solo encontraste un miembro de la familia, y en un problema de valor inicial hace imposible llegar a la respuesta correcta.

La regla de la potencia inversa

La regla de la potencia dice que \frac{d}{dx}x^{n+1} = (n+1)x^n. Divide ambos lados entre n + 1 y léela al revés:

En palabras: suma uno al exponente y luego divide entre el nuevo exponente.

La regla falla en n = -1 porque estarías dividiendo entre cero. Ese caso tiene su propia respuesta:

El valor absoluto hace que funcione también para x negativos.

Dos reglas más convierten la mayoría de los problemas en rutina. Las constantes salen fuera de la integral y las sumas se separan:

Tabla de antiderivadas básicas

Cada fila es una regla de derivación leída al revés. Comprueba cualquier fila derivando el lado derecho.

Cuidado con los signos en las filas trigonométricas. La derivada de \cos x es -\sin x, así que la antiderivada de \sin x es -\cos x.

Ejemplo resuelto 1: un polinomio

Calcula \int (3x^2 - 4x + 5)\,dx.

Paso 1. Separa en términos. Integra 3x^2, -4x y 5 por separado.

Paso 2. Aplica la regla de la potencia inversa a cada uno.

• \int 3x^2\,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
• \int -4x\,dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2
• \int 5\,dx = 5x

Paso 3. Suma una sola constante.

Comprobación: \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + 5x + C) = 3x^2 - 4x + 5. Basta con un +C al final, porque varias constantes sumadas dan una sola constante.

Ejemplo resuelto 2: raíces y fracciones

Calcula \int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx.

Paso 1. Reescribe como potencias. \sqrt{x} = x^{1/2} y \frac{1}{x^2} = x^{-2}.

Paso 2. Regla de la potencia inversa.

• \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}
• \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}

Paso 3. Combina.

Dividir entre una fracción como \frac{3}{2} es lo mismo que multiplicar por \frac{2}{3}. Ese paso hace tropezar a mucha gente.

Ejemplo resuelto 3: simplifica primero

Calcula \int \frac{x^2 + 1}{x}\,dx.

No existe una regla del cociente para integrales, así que simplifica antes de integrar. Divide cada término entre x:

Ahora integra término a término:

Ejemplo resuelto 4: trigonometría y exponenciales

Calcula \int (2\cos x - 3e^x)\,dx.

Según la tabla, \int \cos x\,dx = \sin x y \int e^x\,dx = e^x:

Comprobación: \frac{d}{dx}(2\sin x - 3e^x) = 2\cos x - 3e^x.

Otras dos filas de la tabla en acción: calcula \int \left(\frac{4}{1 + x^2} + \sec^2 x\right) dx. Cada término es una fila de la tabla con una constante delante:

Cómo comprobar cualquier antiderivada

Integrar es difícil; derivar es fácil. Por eso cada antiderivada trae una comprobación gratis: deriva tu respuesta y mira si recuperas el integrando. Si \frac{d}{dx}F(x) = f(x), está bien, sin importar el método que hayas usado.

Esto detecta casi todos los despistes. Supón que escribiste \int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} y luego lo simplificaste a \frac{1}{2}\sqrt{x}. Al derivar obtienes \frac{1}{4}x^{-1/2}, que no es x^{-1/2}, así que sabes que algo salió mal (la respuesta correcta es 2\sqrt{x} + C). Convierte la comprobación en un hábito en cada problema hasta que las reglas te salgan solas.

Problemas de valor inicial: cómo hallar la C exacta

Un problema de valor inicial te da una derivada y un punto de la función original. Ese punto elige exactamente una curva de la familia F(x) + C.

Ejemplo resuelto 5: hallar f a partir de f' y un punto

Halla f(x) si f'(x) = 6x^2 - 2x y f(1) = 4.

Paso 1. Calcula la antiderivada.

Paso 2. Usa el punto. Sustituye x = 1 y f(1) = 4:

Paso 3. Escribe la respuesta.

Ejemplo resuelto 6: movimiento a partir de la aceleración

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo a 48 ft/s. Su aceleración es a(t) = -32 ft/s². Halla su altura s(t) y su altura máxima.

Paso 1. Velocidad. v(t) = \int -32\,dt = -32t + C_1. En el lanzamiento v(0) = 48, así que C_1 = 48 y v(t) = -32t + 48.

Paso 2. Posición. s(t) = \int (-32t + 48)\,dt = -16t^2 + 48t + C_2. Parte del suelo, s(0) = 0, así que C_2 = 0:

Paso 3. Altura máxima. La pelota alcanza su punto más alto cuando v(t) = 0, en t = 1.5 s. Entonces s(1.5) = -16(2.25) + 72 = 36 ft.

Cada antiderivada necesitó su propia constante, y cada una quedó fijada por su propia condición inicial.

Ejemplo resuelto 7: partir de la segunda derivada

Halla f(x) si f''(x) = 12x, f'(0) = 1 y f(0) = 2.

Paso 1. f'(x) = 6x^2 + C_1. Como f'(0) = 1, C_1 = 1, así que f'(x) = 6x^2 + 1.

Paso 2. f(x) = 2x^3 + x + C_2. Como f(0) = 2, C_2 = 2.

Comprobación: f'(x) = 6x^2 + 1 y f''(x) = 12x, con f'(0) = 1 y f(0) = 2. Dos integraciones siempre necesitan dos condiciones.

Errores comunes con las antiderivadas

1. Olvidar el +C. Cuesta puntos en las integrales indefinidas y arruina los problemas de valor inicial.
2. Usar la regla de la potencia inversa con \frac{1}{x}. \frac{x^0}{0} no está definido. La respuesta es \ln|x| + C.
3. Integrar productos o cocientes por partes separadas. \int x \cdot x^2\,dx no es \frac{x^2}{2}\cdot\frac{x^3}{3}. Multiplica primero para obtener \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C.
4. Errores de signo con la trigonometría. \int \sin x\,dx = -\cos x + C, no \cos x + C.
5. No reescribir raíces y fracciones. \int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx parece difícil hasta que la escribes como \int x^{-1/2}\,dx = 2\sqrt{x} + C.

Cuando el integrando es una función compuesta, como (3x + 1)^5, la tabla básica no basta. Ese es el trabajo de la sustitución (cambio de variable). Y las antiderivadas son justo lo que necesitas para calcular áreas con el Teorema Fundamental del Cálculo.

Practica hasta que sea automático

Las antiderivadas son la base de cada integral que vayas a calcular, así que la rapidez aquí te rinde durante todo el curso. Trabaja con la lección interactiva de abajo: cada respuesta se corrige al instante, se señalan las constantes que faltan y cada solución se muestra paso a paso.