Teorema Fundamental del Cálculo: partes 1 y 2 con ejemplos

Calcular el área bajo y = x^2 con sumas de Riemann lleva una página de álgebra y un límite. El Teorema Fundamental del Cálculo lo hace en una línea: \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}. Es la razón por la que las integrales resultan prácticas, y une las dos mitades del cálculo en una sola materia.

Lo que dice el Teorema Fundamental del Cálculo

En palabras sencillas: la derivación y la integración son procesos inversos. El teorema tiene dos partes, una para cada sentido.

Parte 1 (derivada de una integral). Si f es continua en [a, b], entonces la función de área g(x) = \int_a^x f(t)\,dt es derivable y

Parte 2 (cálculo de integrales). Si f es continua en [a, b] y F es cualquier antiderivada de f (es decir, F' = f), entonces

Para abreviar, escribimos F(b) - F(a) como \Big[F(x)\Big]_a^b.

La mayoría de los libros las numeran así, aunque algunos intercambian las etiquetas (y en muchos países se habla de "primer" y "segundo" teorema fundamental). Lo que importa es reconocer qué tarea estás haciendo: calcular un número o derivar una integral.

Por qué funciona: el área se acumula a un ritmo igual a la altura

Imagina el área bajo y = f(t) desde a hasta x, y desplaza x un poquito a la derecha, una cantidad h. El área extra es una franja delgada de ancho h y altura aproximadamente f(x), así que

Cuando h \to 0 esto se convierte en g'(x) = f(x): el ritmo al que crece el área es la altura de la curva. Esa es la parte 1. La parte 2 se deduce de ella: g es una antiderivada de f, cualquier otra antiderivada F difiere de ella en una constante, y \int_a^b f = g(b) - g(a) = F(b) - F(a).

Cómo calcular una integral definida (parte 2 del TFC)

1. Encuentra una antiderivada F(x). Omite el +C, se cancela.
2. Calcula F(b), el límite superior.
3. Calcula F(a), el límite inferior.
4. Resta: F(b) - F(a).

Ejemplo resuelto 1: un polinomio

Calcula \int_0^2 x^2\,dx.

Paso 1. Una antiderivada de x^2 es \frac{x^3}{3}.

Paso 2. F(2) = \frac{8}{3}.

Paso 3. F(0) = 0.

Paso 4.

Es exactamente el límite de las sumas de Riemann calculado por el camino largo, sin necesidad de notación sigma.

Ejemplo resuelto 2: raíces y constantes

Calcula \int_1^4 (3\sqrt{x} - 2)\,dx.

Paso 1. Escribe 3\sqrt{x} = 3x^{1/2}. Su antiderivada es 3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} = 2x^{3/2}, y la antiderivada de -2 es -2x. Así que F(x) = 2x^{3/2} - 2x.

Paso 2. F(4) = 2(4)^{3/2} - 2(4) = 2(8) - 8 = 8.

Paso 3. F(1) = 2(1) - 2(1) = 0.

Paso 4.

Ejemplo resuelto 3: el área bajo un arco del seno

Calcula \int_0^{\pi} \sin x\,dx.

Paso 1. Una antiderivada de \sin x es -\cos x.

Pasos 2 a 4.

Los dos signos menos son donde ocurren la mayoría de los errores. Escribe los corchetes completos, como arriba, cada vez.

Ejemplo resuelto 4: un logaritmo

Calcula \int_1^e \frac{1}{x}\,dx.

Ejemplo resuelto 5: exponenciales y una constante que no desaparece

Calcula \int_0^1 (e^x + 2x)\,dx.

Paso 1. Una antiderivada es F(x) = e^x + x^2.

Paso 2. F(1) = e + 1.

Paso 3. F(0) = e^0 + 0 = 1. Atención aquí: e^0 es 1, no 0, así que el límite inferior no desaparece.

Paso 4.

Área con signo: cuando la integral es negativa

Una integral definida cuenta como positiva el área por encima del eje x y como negativa el área por debajo. Por ejemplo,

El arco por encima del eje (área 2) se cancela con el arco por debajo (área 2). Si una pregunta pide el área total en lugar de la integral, divide en los ceros y suma valores absolutos: 2 + 2 = 4.

Ejemplo resuelto 6: desplazamiento frente a distancia recorrida

La misma idea aparece en los problemas de movimiento, donde la parte 2 se suele llamar teorema del cambio neto: integrar una tasa da el cambio total. Una partícula se mueve con velocidad v(t) = 3t^2 - 6t m/s. Halla su desplazamiento y la distancia total que recorre entre t = 0 y t = 3.

Paso 1. Desplazamiento. Una antiderivada de v es t^3 - 3t^2, así que

La partícula termina donde empezó.

Paso 2. Halla dónde da la vuelta. v(t) = 3t(t - 2) es negativa en (0, 2) y positiva en (2, 3).

Paso 3. Distancia. Integra |v| dividiendo en t = 2:

Se mueve 4 m hacia atrás y luego 4 m hacia delante, así que la distancia total es 8 m aunque el desplazamiento sea 0.

Derivadas de integrales (parte 1 del TFC)

La parte 1 permite derivar una integral sin calcularla, lo cual importa cuando el integrando no tiene una antiderivada sencilla.

Ejemplo resuelto 7: x en el límite superior

Halla \frac{d}{dx}\int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt.

No hay una antiderivada bonita de \sqrt{t^3 + 1}, y no te hace falta. Por la parte 1, sustituye t por x:

El límite inferior 1 no importa. Cambiarlo solo desplaza la función de área en una constante.

Ejemplo resuelto 8: una función en el límite superior

Halla \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt.

Aquí el límite superior es u = x^2, así que la regla de la cadena añade un factor u' = 2x:

Comprobación calculando primero: \int_0^{x^2}\cos t\,dt = \sin(x^2) - \sin 0 = \sin(x^2), y \frac{d}{dx}\sin(x^2) = 2x\cos(x^2). Coincide.

La regla general es

Ejemplo resuelto 9: x en el límite inferior

Halla \frac{d}{dx}\int_x^3 e^{t^2}\,dt.

Paso 1. Intercambia los límites. Intercambiar los límites cambia el signo: \int_x^3 e^{t^2}\,dt = -\int_3^x e^{t^2}\,dt.

Paso 2. Aplica la parte 1.

Si los dos límites dependen de x, divide la integral en una constante: \frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f(v(x))\,v'(x) - f(u(x))\,u'(x).

Referencia rápida

Errores comunes con el Teorema Fundamental

1. Restar en el orden equivocado. Es F(\text{superior}) - F(\text{inferior}). Invertirlo cambia el signo de tu respuesta.
2. Quitar paréntesis con negativos. En el ejemplo 3, (-\cos\pi) - (-\cos 0) necesita todos sus paréntesis. Escribir -\cos\pi - \cos 0 da 0 en lugar de 2.
3. Olvidar el factor de la regla de la cadena. \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt es 2x\cos(x^2), no \cos(x^2).
4. Integrar cuando se aplica la parte 1. Si la pregunta pide la derivada de una integral, rara vez necesitas encontrar una antiderivada.
5. Confundir la integral con el área total. Si la curva baja del eje, \int_a^b f no es el área. Divide en los ceros.
6. Aplicarlo a través de una discontinuidad. \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx no es \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^1 = -2. El integrando se dispara en 0, así que el teorema no se aplica. Es una integral impropia.

Practica el cálculo de integrales

Una vez que el teorema encaja, cada integral definida se convierte en una antiderivada más algo de aritmética cuidadosa. La mayoría de los errores son de signo, así que repetir con corrección es la forma más rápida de volverse fiable. La lección interactiva de abajo corrige cada respuesta al instante y muestra todo el trabajo con corchetes cada vez que un signo se tuerce. Para integrandos más difíciles, el siguiente paso es la sustitución (cambio de variable).