La regla de la cadena: cómo funciona, con ejemplos resueltos

La regla de la potencia resuelve x^5 en una línea. Pero ¿qué pasa con (3x+1)^5? Desarrollarlo llevaría una página entera de álgebra. La regla de la cadena te lleva al resultado en un solo paso, y es la regla que más vas a usar en todo el cálculo.

Esta guía explica qué dice la regla de la cadena, por qué funciona, cómo encontrar la función "interna" y recorre ejemplos resueltos que puedes seguir línea por línea.

Qué dice la regla de la cadena

Una función compuesta es una función metida dentro de otra, y se escribe f(g(x)). A g la llamamos función interna y a f función externa.

La regla de la cadena dice:

Léela como una receta:

1. Deriva la función externa, pero deja la interna exactamente como está.
2. Multiplica por la derivada de la función interna.

Esa es toda la regla. Lo demás es práctica para reconocer qué parte es la interna.

En notación de Leibniz, si y = f(u) y u = g(x), la misma regla se escribe

lo que parece una simplificación de fracciones. En realidad no son fracciones, pero es una forma estupenda de recordarla.

Por qué funciona: las tasas se multiplican

Imagina tres engranajes. El engranaje u da 3 vueltas por cada vuelta del engranaje x. El engranaje y da 2 vueltas por cada vuelta del engranaje u. ¿Cuántas vueltas da y por cada vuelta de x? Seis: 2 \cdot 3.

Las derivadas son tasas de cambio, y las tasas de cambio encadenadas se multiplican exactamente de la misma manera. Eso es todo lo que dice la regla de la cadena: la tasa de la cadena completa es el producto de las tasas de cada eslabón.

La gráfica muestra por qué importa la función interna. Si derivaras \sin(x^2) como simplemente \cos(x^2), la pendiente nunca podría ser mayor que 1. Pero la curva se vuelve claramente más empinada cuanto más te alejas de 0. El factor 2x de la función interna es lo que capta ese efecto.

Cómo encontrar la función interna

Pregúntate: ¿qué calcularía al final si evaluara esto con una calculadora? Esa última operación es la función externa. Aquello sobre lo que actúa es la función interna.

Una prueba rápida: si la función interna es solo x, no necesitas la regla de la cadena (la derivada interna sería 1). En cuanto la interna es algo más, sí la necesitas.

Ejemplo resuelto 1: una potencia de un polinomio

Deriva y = (3x+1)^5.

Paso 1. Identifica las partes. Externa: u^5. Interna: u = 3x+1.

Paso 2. Deriva la externa y conserva la interna. La derivada de u^5 es 5u^4, así que obtenemos 5(3x+1)^4.

Paso 3. Multiplica por la derivada interna. La derivada de 3x + 1 es 3.

Fíjate en que nunca desarrollamos (3x+1)^5. Ahí está la fuerza de la regla de la cadena.

Ejemplo resuelto 2: una función trigonométrica

Deriva y = \sin(x^2).

• Externa: \sin u, con derivada \cos u.
• Interna: u = x^2, con derivada 2x.

Un despiste frecuente es escribir \cos(2x). La función interna sigue siendo x^2 dentro del coseno. El 2x va fuera, como factor.

Ejemplo resuelto 3: exponenciales y logaritmos

Deriva y = e^{4x}.

La derivada de e^u es la propia e^u, así que la parte externa es e^{4x}. La función interna 4x tiene derivada 4:

Ahora deriva y = \ln(x^2 + 1).

La derivada de \ln u es \frac{1}{u}, y la función interna x^2+1 tiene derivada 2x:

Ejemplo resuelto 4: una raíz cuadrada

Deriva y = \sqrt{x^2 + 9}.

Primero reescribe la raíz como potencia: y = (x^2+9)^{1/2}. Luego:

Reescribir las raíces como potencias fraccionarias hace que la regla de la cadena (y la regla de la potencia) sean mucho más fáciles de aplicar.

Usar la regla de la cadena más de una vez

Algunas funciones tienen varias capas, como una cebolla. Pélalas una a una de afuera hacia adentro y multiplica todas las derivadas.

Deriva y = \sin^3(2x), que significa \left(\sin(2x)\right)^3.

1. Capa más externa, el cubo: 3\sin^2(2x).
2. Capa intermedia, el seno: \cos(2x).
3. Capa más interna, 2x: 2.

Consejo: di las capas en voz alta. "El cubo del seno de dos x." Luego deriva en ese mismo orden.

La regla de la cadena junto con la regla del producto

Muchos problemas reales combinan reglas. Deriva y = x^2 \sin(3x).

Es un producto, así que empieza con la regla del producto, (uv)' = u'v + uv', y usa la regla de la cadena dentro de ella para \sin(3x):

La regla de la cadena solo apareció en un lugar: la derivada de \sin(3x) es 3\cos(3x).

Errores comunes con la regla de la cadena

Estos son los fallos que nuestro corrector de respuestas ve con más frecuencia, en orden:

1. Olvidar la derivada interna. Escribir \frac{d}{dx}(3x+1)^5 = 5(3x+1)^4. El factor 3 que falta es el error más común de toda la regla de la cadena.
2. Cambiar la función interna. Escribir \frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(2x). La función interna se queda igual dentro de la derivada externa.
3. Aplicarla cuando no hace falta. \frac{d}{dx}\sin x es simplemente \cos x. No hay factor extra porque la función interna es x sola.
4. Detenerse una capa antes. En \sin^3(2x) es fácil olvidar el factor final 2.

Un buen hábito: al terminar, cuenta las capas y comprueba que tienes un factor de derivada por cada una.

Referencia rápida

La práctica la vuelve automática

La regla de la cadena se asimila con la repetición. Cuando hayas hecho veinte o treinta, reconocerás la función interna sin pensarlo. Prueba la lección interactiva de abajo: cada pregunta te da una corrección inmediata, te señala exactamente qué factor te faltó y te guía por la solución paso a paso.