Regra da cadeia: como funciona, com exemplos resolvidos

A regra da potência resolve x^5 em uma linha. Mas e (3x+1)^5? Expandir tomaria uma página inteira de álgebra. A regra da cadeia chega lá em um único passo, e é a regra que você mais vai usar em todo o cálculo.

Este guia explica o que a regra da cadeia diz, por que ela funciona, como encontrar a função "de dentro" e apresenta exemplos resolvidos que você pode acompanhar linha por linha.

O que a regra da cadeia diz

Uma função composta é uma função colocada dentro de outra, escrita como f(g(x)). Chamamos g de função de dentro e f de função de fora.

A regra da cadeia diz:

Leia como uma receita:

1. Derive a função de fora, mas deixe a de dentro exatamente como está.
2. Multiplique pela derivada da função de dentro.

Essa é a regra inteira. Todo o resto é prática para identificar qual parte está dentro.

Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x), a mesma regra fica

o que parece um cancelamento de frações. Não são frações de verdade, mas é um ótimo jeito de memorizar.

Por que funciona: taxas se multiplicam

Imagine três engrenagens. A engrenagem u dá 3 voltas a cada volta da engrenagem x. A engrenagem y dá 2 voltas a cada volta da engrenagem u. Quantas voltas y dá a cada volta de x? Seis: 2 \cdot 3.

Derivadas são taxas de variação, e taxas de variação em cadeia se multiplicam exatamente da mesma forma. É só isso que a regra da cadeia diz: a taxa da cadeia inteira é o produto das taxas de cada elo.

O gráfico mostra por que a função de dentro importa. Se você derivasse \sin(x^2) como apenas \cos(x^2), a inclinação nunca passaria de 1. Mas a curva claramente fica mais íngreme quanto mais você se afasta do 0. É o fator 2x vindo de dentro que captura isso.

Como encontrar a função de dentro

Pergunte a si mesmo: o que eu calcularia por último se estivesse avaliando isso numa calculadora? Essa última operação é a função de fora. Aquilo sobre o que ela age é a função de dentro.

Um teste rápido: se a função de dentro é apenas x, você não precisa da regra da cadeia (a derivada de dentro seria 1). No momento em que a função de dentro é qualquer coisa a mais, você precisa.

Exemplo resolvido 1: potência de um polinômio

Derive y = (3x+1)^5.

Passo 1. Identifique as partes. De fora: u^5. De dentro: u = 3x+1.

Passo 2. Derive a de fora, mantenha a de dentro. A derivada de u^5 é 5u^4, então obtemos 5(3x+1)^4.

Passo 3. Multiplique pela derivada de dentro. A derivada de 3x + 1 é 3.

Repare que em nenhum momento expandimos (3x+1)^5. Essa é a força da regra da cadeia.

Exemplo resolvido 2: uma função trigonométrica

Derive y = \sin(x^2).

• De fora: \sin u, com derivada \cos u.
• De dentro: u = x^2, com derivada 2x.

Um deslize comum é escrever \cos(2x). A função de dentro continua sendo x^2 dentro do cosseno. O 2x fica do lado de fora, como fator.

Exemplo resolvido 3: exponenciais e logaritmos

Derive y = e^{4x}.

A derivada de e^u é o próprio e^u, então a parte de fora fica e^{4x}. A função de dentro 4x tem derivada 4:

Agora derive y = \ln(x^2 + 1).

A derivada de \ln u é \frac{1}{u}, e a função de dentro x^2+1 tem derivada 2x:

Exemplo resolvido 4: uma raiz quadrada

Derive y = \sqrt{x^2 + 9}.

Primeiro reescreva a raiz como potência: y = (x^2+9)^{1/2}. Depois:

Reescrever raízes como potências fracionárias deixa a regra da cadeia (e a regra da potência) muito mais fácil de aplicar.

Usando a regra da cadeia mais de uma vez

Algumas funções têm várias camadas, como uma cebola. Descasque uma de cada vez, de fora para dentro, e multiplique todas as derivadas.

Derive y = \sin^3(2x), que significa \left(\sin(2x)\right)^3.

1. Camada mais externa, o cubo: 3\sin^2(2x).
2. Camada do meio, o seno: \cos(2x).
3. Camada mais interna, 2x: 2.

Dica: diga as camadas em voz alta. "Cubo do seno de dois x." Depois derive nessa mesma ordem.

Regra da cadeia com a regra do produto

Muitos problemas reais misturam regras. Derive y = x^2 \sin(3x).

Isso é um produto, então comece pela regra do produto, (uv)' = u'v + uv', e use a regra da cadeia dentro dela para \sin(3x):

A regra da cadeia apareceu em um só lugar: a derivada de \sin(3x) é 3\cos(3x).

Erros comuns com a regra da cadeia

Estes são os deslizes que o nosso corretor de respostas mais vê, em ordem:

1. Esquecer a derivada de dentro. Escrever \frac{d}{dx}(3x+1)^5 = 5(3x+1)^4. O fator 3 que falta é, de longe, o erro mais comum com a regra da cadeia.
2. Alterar a função de dentro. Escrever \frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(2x). A função de dentro continua a mesma dentro da derivada de fora.
3. Aplicar quando não é necessário. \frac{d}{dx}\sin x é simplesmente \cos x. Não há fator extra porque a função de dentro é apenas x.
4. Parar uma camada antes. Em \sin^3(2x), é fácil esquecer o fator final 2.

Um bom hábito: quando terminar, conte as camadas e confira se você tem um fator de derivada para cada uma.

Referência rápida

A prática torna tudo automático

A regra da cadeia faz sentido de vez com repetição. Depois de fazer vinte ou trinta exercícios, você vai identificar a função de dentro sem pensar. Experimente a lição interativa abaixo: cada questão dá feedback imediato, aponta exatamente qual fator você esqueceu e mostra a resolução passo a passo.