Derivadas parciais: notação, significado e exemplos resolvidos
Aprenda a calcular derivadas parciais, o que significam como inclinações de traços, as de segunda ordem e por que o teorema de Clairaut iguala as mistas.
Pela equipe do PracticeCalculus Publicado 7 min de leitura
Nesta página
- O que é uma derivada parcial?
- Notação de derivada parcial
- Como calcular derivadas parciais
- O que uma derivada parcial significa: inclinações de traços
- Derivadas parciais de segunda ordem
- Teorema de Clairaut: por que as derivadas mistas coincidem
- Erros comuns com derivadas parciais
- Resumo rápido: derivadas parciais
- Torne isso automático com prática
Uma função como f(x, y) = x^2 y + y^3 depende de duas entradas ao mesmo tempo, então "a derivada" deixa de ser um único número. Se você mexe um pouco em x, a saída muda de um jeito. Se mexe em y, muda de outro. As derivadas parciais medem cada uma dessas taxas separadamente, e a boa notícia é que você já conhece todas as regras necessárias.
Este guia mostra o que as derivadas parciais significam, a notação, como calculá-las (inclusive com a regra da cadeia), como interpretá-las como inclinações numa superfície e as derivadas de segunda ordem com o teorema de Clairaut.
O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de f em relação a x é a taxa de variação de f quando x varia e todas as outras variáveis ficam constantes. Para uma função de duas variáveis, ela é definida por um limite, igualzinho a uma derivada comum:
Em cada limite só uma variável se mexe. Essa é a ideia toda: congele as outras e calcule uma derivada normal.
Notação de derivada parcial
Você vai ver várias notações equivalentes para a mesma coisa:
| Significado | Índice | Leibniz | Operador |
|---|---|---|---|
| taxa na direção x | f_x | \frac{\partial f}{\partial x} | \partial_x f |
| taxa na direção y | f_y | \frac{\partial f}{\partial y} | \partial_y f |
| valor num ponto | f_x(a, b) | \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right\rvert_{(a,b)} |
Se z = f(x, y), você também pode ver \frac{\partial z}{\partial x} ou z_x.
Como calcular derivadas parciais
A regra prática: toda variável, exceto aquela em relação à qual você deriva, é uma constante. Então y^3, 5y e \sin y se comportam como números quando você calcula \frac{\partial}{\partial x}.
Exemplo resolvido 1: um polinômio
Encontre f_x e f_y para f(x, y) = 3x^2 y + y^3 - 4x.
Passo 1. Derive em relação a x, mantendo y constante.
- 3x^2 y: a constante 3y vai junto, e x^2 vira 2x, o que dá 6xy.
- y^3: não tem x, então é uma constante e sua derivada é 0.
- -4x: derivada -4.
Passo 2. Derive em relação a y, mantendo x constante.
- 3x^2 y: a constante 3x^2 vai junto, e y vira 1, o que dá 3x^2.
- y^3: derivada 3y^2.
- -4x: não tem y, então 0.
Exemplo resolvido 2: usando a regra da cadeia
Encontre f_x e f_y para f(x, y) = \sin(x^2 y).
A função de fora é \sin u e a de dentro é u = x^2 y, então a regra da cadeia se aplica como no cálculo de uma variável.
Passo 1. Em relação a x. A derivada de dentro é \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy.
Passo 2. Em relação a y. A derivada de dentro é \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2.
Exemplo resolvido 3: um logaritmo e três variáveis
Encontre \frac{\partial f}{\partial x} para f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) e depois g_z para g(x, y, z) = x y^2 z^3.
Passo 1. No logaritmo, derive \ln u para obter \frac{1}{u} e multiplique por \frac{\partial u}{\partial x} = 2x:
Passo 2. Com três variáveis nada muda: mantenha x e y fixos e derive z^3.
O que uma derivada parcial significa: inclinações de traços
O gráfico de z = f(x, y) é uma superfície. Corte-a com o plano vertical y = b e você obtém uma curva, chamada traço, que depende só de x: z = f(x, b). A derivada parcial f_x(a, b) é a inclinação dessa curva em x = a.
Tome a cúpula f(x, y) = 6 - x^2 - 2y^2 no ponto (1, 1), onde f(1, 1) = 3.
Passo 1. Corte com y = 1. O traço é z = 6 - x^2 - 2 = 4 - x^2.
Passo 2. Derive. f_x = -2x, então f_x(1, 1) = -2. O traço desce com inclinação -2 quando x aumenta.
Passo 3. Reta tangente no corte. z = 3 - 2(x - 1) = 5 - 2x.
Cortando no outro sentido, com x = 1, obtemos o traço z = 5 - 2y^2. Sua inclinação em y = 1 é f_y(1, 1) = -4y\big|_{y=1} = -4. Então, nesse ponto, a cúpula desce duas vezes mais íngreme na direção y do que na direção x.
Em termos aplicados, f_x responde "com que rapidez a saída muda por unidade de x, se nada mais mudar?". Se P(L, K) é a produção de uma fábrica a partir do trabalho L e do capital K, então P_L é a produção extra obtida com uma unidade a mais de trabalho, mantendo o capital fixo.
Derivadas parciais de segunda ordem
Cada derivada parcial de primeira ordem é, de novo, uma função de x e y, então você pode calcular as parciais dela. Uma função de duas variáveis tem quatro derivadas parciais de segunda ordem:
As duas últimas são as derivadas parciais mistas. Leia os índices da esquerda para a direita: f_{xy} significa "primeiro x, depois y". A forma de Leibniz lista as variáveis da direita para a esquerda, então \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} também significa "primeiro x, depois y".
f_{xx} mede a concavidade do traço em x, e f_{yy} a concavidade do traço em y. Na cúpula acima, f_{xx} = -2 e f_{yy} = -4, ambas negativas, então a superfície se curva para baixo nas duas direções.
Exemplo resolvido 4: as quatro derivadas de segunda ordem
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y) = x^3 y^2 + 2xy^4.
Passo 1. Derivadas de primeira ordem.
Passo 2. Derive f_x.
Passo 3. Derive f_y.
Passo 4. Compare as derivadas mistas. f_{xy} = f_{yx} = 6x^2 y + 8y^3. Elas coincidem.
Teorema de Clairaut: por que as derivadas mistas coincidem
Essa coincidência no exemplo 4 não foi sorte.
Teorema de Clairaut: se f_{xy} e f_{yx} são ambas contínuas num disco aberto em torno de (a, b), então f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b).
Polinômios, exponenciais, senos, cossenos e suas combinações têm parciais contínuas onde estão definidos, então na prática a ordem de derivação não importa. Isso traz duas vantagens práticas:
- Uma conferência de graça. Calcule as duas derivadas mistas. Se elas não baterem, você errou alguma conta.
- Um atalho. Escolha a ordem mais fácil. Para f(x, y) = y e^{x^2} + x, achar f_{yx} é mais rápido: f_y = e^{x^2}, então f_{yx} = 2x e^{x^2}. Por Clairaut, f_{xy} é a mesma.
Erros comuns com derivadas parciais
- Derivar a variável "constante". Em \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3), o y^3 continua sendo y^3. A resposta é 2xy^3, não 6xy^2.
- Manter termos que deveriam sumir. Qualquer termo sem x, como y^3 ou \sin y, tem \frac{\partial}{\partial x} = 0.
- Usar a regra do produto sem necessidade. x^2 y^3 é uma constante vezes x^2 quando se deriva em x, então não precisa da regra do produto.
- Esquecer o fator da regra da cadeia. \frac{\partial}{\partial y} e^{xy} = x e^{xy}, não e^{xy}.
- Confundir a ordem em f_{xy} versus \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}. Pelo teorema de Clairaut, isso raramente muda a resposta, mas muda o desenvolvimento que você mostra.
Resumo rápido: derivadas parciais
| Função | f_x | f_y |
|---|---|---|
| x^m y^n | m x^{m-1} y^n | n x^m y^{n-1} |
| e^{xy} | y e^{xy} | x e^{xy} |
| \sin(xy) | y\cos(xy) | x\cos(xy) |
| \ln(x^2 + y^2) | \frac{2x}{x^2+y^2} | \frac{2y}{x^2+y^2} |
| \frac{x}{y} | \frac{1}{y} | -\frac{x}{y^2} |
| g(x) + h(y) | g'(x) | h'(y) |
Torne isso automático com prática
As derivadas parciais são a base de todo o resto do cálculo multivariável: o gradiente e as derivadas direcionais, planos tangentes, otimização e multiplicadores de Lagrange. A lição interativa abaixo traz funções para derivar uma variável de cada vez, com feedback imediato que mostra qual variável você derivou sem querer.
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Derivadas parciais
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