Multiplicadores de Lagrange: método, intuição e exemplos resolvidos

A maioria dos problemas reais de otimização vem com condições. Maximizar a área, mas a cerca tem comprimento fixo. Minimizar o custo, mas é preciso produzir uma quantidade fixa. Quando as variáveis estão amarradas por uma restrição, igualar as derivadas parciais a zero deixa de funcionar. Os multiplicadores de Lagrange fornecem um sistema de equações limpo que encontra a resposta mesmo assim.

Este guia explica o método, a geometria por trás dele e três exemplos totalmente resolvidos, incluindo um com três variáveis.

O que é o método dos multiplicadores de Lagrange?

Suponha que você queira o máximo ou o mínimo de f(x, y), mas só entre os pontos que satisfazem uma restrição g(x, y) = c. O método dos multiplicadores de Lagrange diz que, em qualquer ponto extremo desse tipo (onde \nabla g \ne \mathbf{0}), existe um número \lambda com

Escrito por componentes, são três equações nas três incógnitas x, y e \lambda:

A letra grega \lambda (lambda) é o multiplicador de Lagrange. Com três variáveis, acrescente f_z = \lambda g_z e a restrição passa a ser g(x, y, z) = c.

Por que funciona: os gradientes são paralelos

Imagine a restrição g(x, y) = c como uma trilha desenhada num mapa, e as curvas de nível de f como as curvas de altitude. Caminhe pela trilha observando o valor de f.

• Onde a trilha cruza uma curva de nível, você pode continuar andando até uma curva mais alta. Isso não é um máximo.
• No ponto mais alto da trilha, ela apenas encosta numa curva de nível sem cruzá-la. As duas curvas são tangentes.

Duas curvas tangentes têm a mesma reta tangente no ponto de contato. Como um gradiente é perpendicular à sua própria curva de nível, \nabla f e \nabla g são ambos perpendiculares a essa reta tangente comum. Então apontam ao longo da mesma reta, ou seja, um é múltiplo do outro: \nabla f = \lambda \nabla g.

Como usar os multiplicadores de Lagrange passo a passo

1. Identifique a função a otimizar, f, e escreva a restrição como g = c.
2. Calcule \nabla f e \nabla g.
3. Monte o sistema \nabla f = \lambda \nabla g, g = c.
4. Resolva. Um truque confiável: isole \lambda em cada equação do gradiente e iguale os resultados, ou divida uma equação pela outra para eliminar \lambda. Fique atento aos casos em que uma variável vale 0.
5. Calcule f em todas as soluções. O maior valor é o máximo e o menor é o mínimo.

Dica: o passo 5 não é opcional. As equações encontram candidatos, e só comparar os valores de f diz qual é qual.

Exemplo resolvido 1: uma reta encontra uma circunferência

Encontre o máximo e o mínimo de f(x, y) = x + y na circunferência x^2 + y^2 = 2.

Passo 1. Gradientes. \nabla f = \langle 1, 1 \rangle e, com g = x^2 + y^2, \nabla g = \langle 2x, 2y \rangle.

Passo 2. O sistema.

Passo 3. Elimine \lambda. Nem \lambda, nem x, nem y podem ser 0 (senão 1 = 0). Isolando \lambda: \lambda = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2y}, logo x = y.

Passo 4. Use a restrição. x^2 + x^2 = 2 dá x = \pm 1. Os candidatos são (1, 1) e (-1, -1).

Passo 5. Calcule. f(1, 1) = 2 e f(-1, -1) = -2.

O máximo é 2 em (1, 1) e o mínimo é -2 em (-1, -1). No gráfico, as retas de nível x + y = 2 e x + y = -2 apenas encostam na circunferência, enquanto qualquer reta intermediária, como x + y = 0, a atravessa.

Exemplo resolvido 2: um produto sobre uma elipse

Encontre o máximo e o mínimo de f(x, y) = xy na elipse x^2 + 4y^2 = 8.

Passo 1. Gradientes. \nabla f = \langle y, x \rangle e \nabla g = \langle 2x, 8y \rangle.

Passo 2. O sistema.

Passo 3. Substitua. Leve a segunda equação para a primeira: y = 2\lambda(8\lambda y) = 16\lambda^2 y, logo y(1 - 16\lambda^2) = 0.

• Caso y = 0. Então x = 8\lambda \cdot 0 = 0, mas (0, 0) não está na elipse. Sem solução.
• Caso \lambda^2 = \frac{1}{16}. Então \lambda = \pm\frac{1}{4} e y = 2\lambda x = \pm\frac{x}{2}.

Passo 4. Use a restrição. Com y = \pm\frac{x}{2}, temos 4y^2 = x^2, então x^2 + x^2 = 8 e x = \pm 2. Isso dá quatro candidatos: (2, 1), (-2, -1), (2, -1) e (-2, 1).

Passo 5. Calcule.

O máximo é 2, em (2, 1) e (-2, -1). O mínimo é -2, em (2, -1) e (-2, 1). Como a elipse é fechada e limitada, a existência de ambos está garantida.

As curvas de nível de xy são hipérboles. A hipérbole xy = 2 é tangente à elipse nos dois pontos de máximo, exatamente como a condição dos gradientes paralelos prevê.

Exemplo resolvido 3: o ponto mais próximo num plano

Encontre o ponto do plano x + 2y + 2z = 9 mais próximo da origem.

Passo 1. Escolha f. A distância é \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. Minimizar a raiz quadrada é o mesmo que minimizar o que está dentro dela, então use f = x^2 + y^2 + z^2. A restrição é g = x + 2y + 2z = 9.

Passo 2. Gradientes. \nabla f = \langle 2x, 2y, 2z \rangle e \nabla g = \langle 1, 2, 2 \rangle.

Passo 3. O sistema.

Passo 4. Escreva tudo em função de \lambda. x = \frac{\lambda}{2}, y = \lambda, z = \lambda.

Passo 5. Use a restrição.

Então o ponto é (1, 2, 2) e f = 1 + 4 + 4 = 9, o que dá uma distância de \sqrt{9} = 3.

Passo 6. É mínimo ou máximo? Há um único candidato, e um plano tem pontos tão longe da origem quanto você quiser, então não existe máximo. O único candidato tem de ser o mínimo. Para conferir, a fórmula da distância de ponto a plano dá \frac{|9|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 3.

O que significa o lambda?

O multiplicador não é só uma variável auxiliar. \lambda é a taxa com que o valor ótimo varia quando a constante c da restrição varia.

Confira no exemplo 1 com uma circunferência genérica x^2 + y^2 = c. Os mesmos passos dão um máximo em x = y = \sqrt{c/2}, com valor f^* = 2\sqrt{c/2} = \sqrt{2c}. Então

E em (1, 1), a equação 1 = 2\lambda x deu \lambda = \frac{1}{2}. Os valores coincidem. Em economia isso é o preço sombra: quanto lucro a mais vale uma unidade extra de um recurso limitado.

Erros comuns com multiplicadores de Lagrange

1. Dividir por uma variável que pode ser zero. No exemplo 2, dividir y = 16\lambda^2 y por y esconderia o caso y = 0. Fatore e trate cada caso.
2. Esquecer a equação da restrição. Só \nabla f = \lambda\nabla g tem soluções demais. Você precisa de g = c para fixá-las.
3. Parar antes de calcular f. O sistema dá candidatos, não respostas.
4. Perder casos de sinal. Raízes quadradas dão \pm. O exemplo 2 tem quatro candidatos, não um.
5. Afirmar um máximo que não existe. Numa restrição ilimitada, como uma reta ou um plano, um dos extremos pode não existir. Justifique qual deles você encontrou.
6. Otimizar a distância com a raiz quadrada. Funciona, mas a álgebra fica muito mais limpa com a distância ao quadrado.

Resumo rápido: multiplicadores de Lagrange

Pratique a álgebra, domine o método

O cálculo num problema de Lagrange ocupa uma linha. O trabalho de verdade é resolver o sistema sem perder nenhum caso, e isso só fica confiável com prática. A lição interativa abaixo traz problemas com restrição para resolver passo a passo, confere seu sistema e cada ponto candidato na hora e mostra qualquer caso que você tenha deixado passar.