Regra da potência para derivadas: regras, exemplos e truques
Domine a regra da potência: como funciona, expoentes negativos e fracionários, como reescrever raízes e frações, e as regras da soma e da constante.
Pela equipe do PracticeCalculus Publicado 8 min de leitura
Nesta página
- O que é a regra da potência?
- Por que a regra da potência funciona
- As regras da constante, da constante multiplicativa e da soma
- Exemplo resolvido 1: um polinômio
- Expoentes negativos: reescrevendo frações
- Expoentes fracionários: reescrevendo raízes
- Exemplo resolvido 5: simplifique antes de derivar
- Juntando tudo
- Exemplo resolvido 6: uma reta tangente
- Derivadas de ordem superior com a regra da potência
- A regra da potência como taxa de variação
- Erros comuns com a regra da potência
- Resumo rápido
- Pratique até ficar automático
Calcular derivadas pela definição por limite significa uma página de álgebra para cada função. A regra da potência substitui tudo isso por um atalho de uma linha e, junto com duas regras companheiras simples, permite derivar qualquer polinômio, raiz ou potência de x em segundos. É a primeira regra que você aprende e a que você mais vai usar.
O que é a regra da potência?
A regra da potência dá a derivada de x elevado a uma potência constante:
Em palavras: desça o expoente para a frente e depois subtraia um do expoente.
A regra vale para qualquer número real n: inteiros positivos, números negativos e frações. A única exigência é que a variável esteja na base e o expoente seja uma constante.
Por que a regra da potência funciona
Para um inteiro positivo n, dá para ver o padrão a partir da definição de derivada por limite. Expandir (x + h)^n dá
Então
e, quando h \to 0, tudo some exceto n x^{n-1}. Essa é a regra da potência. Para n = 2, é exatamente a conta conhecida (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2, que dá 2x. A demonstração para expoentes negativos e fracionários usa outras ferramentas, mas a regra continua a mesma.
As regras da constante, da constante multiplicativa e da soma
A regra da potência raramente aparece sozinha. Três regras companheiras permitem combiná-la com coeficientes e vários termos.
| Regra | Fórmula | Exemplo |
|---|---|---|
| Regra da constante | \frac{d}{dx} c = 0 | \frac{d}{dx} 7 = 0 |
| Regra da constante multiplicativa | \frac{d}{dx} [c f(x)] = c f'(x) | \frac{d}{dx} 4x^3 = 12x^2 |
| Regra da soma e da diferença | \frac{d}{dx} [f \pm g] = f' \pm g' | \frac{d}{dx} (x^2 + x) = 2x + 1 |
A regra da constante diz que uma reta horizontal tem inclinação 0. A regra da constante multiplicativa diz que esticar um gráfico verticalmente por c multiplica todas as inclinações por c. A regra da soma diz que você pode derivar um polinômio um termo de cada vez.
Exemplo resolvido 1: um polinômio
Derive f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2.
Passo 1. Separe em termos. Pela regra da soma, derive cada termo separadamente.
Passo 2. Aplique a regra da potência com as constantes multiplicativas.
- 3x^4 \to 3 \cdot 4x^3 = 12x^3
- -5x^2 \to -5 \cdot 2x = -10x
- 7x \to 7 \cdot 1 = 7
- -2 \to 0
Passo 3. Junte tudo.
Expoentes negativos: reescrevendo frações
Uma potência de x no denominador é um expoente negativo disfarçado:
Reescreva primeiro e depois aplique a regra da potência. Preste muita atenção ao subtrair um: o expoente fica mais negativo.
Exemplo resolvido 2: uma fração com coeficiente
Derive y = \frac{4}{x^3}.
Passo 1. Reescreva como potência. y = 4x^{-3}.
Passo 2. Aplique a regra da potência. Desça o -3 e subtraia um: -3 - 1 = -4.
Passo 3. Reescreva sem expoentes negativos (opcional, mas geralmente esperado).
Vale memorizar um caso especial: \frac{d}{dx} \frac{1}{x} = \frac{d}{dx} x^{-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}, o mesmo resultado que a definição por limite dá.
Dica: repare onde o coeficiente está. \frac{1}{3x^2} é \frac{1}{3}x^{-2}, mas \frac{3}{x^2} é 3x^{-2}. Só a potência de x sobe para o numerador como expoente negativo.
Expoentes fracionários: reescrevendo raízes
Raízes são potências fracionárias:
Exemplo resolvido 3: uma raiz quadrada
Derive y = \sqrt{x}.
Passo 1. Reescreva. y = x^{1/2}.
Passo 2. Aplique a regra da potência. \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}, então
Exemplo resolvido 4: a raiz de uma potência
Derive y = \sqrt[3]{x^2}.
Passo 1. Reescreva. y = x^{2/3}.
Passo 2. Aplique a regra da potência. \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}, então
Repare que a derivada não está definida em x = 0. O gráfico de x^{2/3} tem uma cúspide ali.
Exemplo resolvido 5: simplifique antes de derivar
Derive y = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x}}.
Você poderia usar a regra do quociente, mas separar a fração é mais rápido.
Passo 1. Separe em termos.
Passo 2. Subtraia os expoentes. x^{2 - 1/2} = x^{3/2}, então
Passo 3. Aplique a regra da potência a cada termo.
Passo 4. Reescreva com raízes (opcional).
O mesmo truque funciona com produtos: expanda (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 e derive para obter 8x + 4.
Juntando tudo
Derive y = 6\sqrt[3]{x^5} - \frac{2}{x} + 9.
Passo 1. Reescreva cada termo como potência de x.
Passo 2. Aplique a regra da potência termo a termo. No primeiro termo, \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}. No segundo, -1 - 1 = -2. A constante 9 vira 0.
Passo 3. Reescreva na forma de raiz e fração.
Repare como os dois sinais de menos do termo do meio se combinaram num mais. Escorregões de sinal como esse são o principal ponto de atenção depois que você já domina a regra em si.
Exemplo resolvido 6: uma reta tangente
Encontre a equação da reta tangente a y = x^3 em x = 2.
Passo 1. Encontre o ponto. y(2) = 2^3 = 8, então o ponto é (2, 8).
Passo 2. Encontre a inclinação. \frac{dy}{dx} = 3x^2, então a inclinação em x = 2 é 3(2)^2 = 12.
Passo 3. Use a forma ponto-inclinação.
Derivadas de ordem superior com a regra da potência
Como a derivada de um polinômio é outro polinômio, você pode aplicar a regra da potência de novo e de novo. A segunda derivada f''(x) é a derivada de f'(x) e mede como a própria inclinação está mudando (a concavidade).
Exemplo resolvido 7: primeira, segunda e terceira derivadas
Encontre f', f'' e f''' para f(x) = 2x^5 - x^3 + 4x.
Passo 1. Primeira derivada. Aplique a regra da potência termo a termo:
Passo 2. Segunda derivada. Derive f'. A constante 4 desaparece:
Passo 3. Terceira derivada.
Cada rodada diminui todos os expoentes em um, então um polinômio de grau n vira 0 depois de n + 1 derivadas.
A regra da potência como taxa de variação
Derivadas são taxas, então a regra da potência transforma fórmulas de posição em fórmulas de velocidade na hora. Suponha que a altura de uma bola, em metros, depois de t segundos seja
A variável é t em vez de x, mas a regra é a mesma. A velocidade é
e a aceleração é a(t) = v'(t) = -10 metros por segundo ao quadrado. Fazer v(t) = 0 dá t = 2, o instante em que a bola para de subir, a uma altura de s(2) = -20 + 40 + 2 = 22 metros. Todas essas respostas vieram da regra da potência e de mais nada.
Erros comuns com a regra da potência
- Subtrair um errado com expoentes negativos. \frac{d}{dx} x^{-3} = -3x^{-4}. Ir de -3 para -2 é o erro mais comum.
- Derivar uma fração pedaço por pedaço. \frac{d}{dx} \frac{1}{x^3} não é \frac{1}{3x^2}. Reescreva como x^{-3} primeiro.
- Esquecer que constantes viram 0. A derivada de -2, \pi^2 ou e^3 é 0, não a própria constante.
- Aplicar a regra da potência a exponenciais. \frac{d}{dx} 2^x não é x \cdot 2^{x-1}. A variável está no expoente, então a regra da potência não se aplica.
- Usá-la na potência de algo diferente de x. \frac{d}{dx} (3x+1)^5 precisa da regra da cadeia, que acrescenta um fator 3.
- Mover um coeficiente junto com a potência. \frac{5}{x^2} = 5x^{-2}, não 5^{-1}x^{-2}.
Resumo rápido
| Função | Reescreva como | Derivada |
|---|---|---|
| x^n | x^n | n x^{n-1} |
| c (constante) | 0 | |
| x | x^1 | 1 |
| \frac{1}{x} | x^{-1} | -\frac{1}{x^2} |
| \frac{1}{x^2} | x^{-2} | -\frac{2}{x^3} |
| \sqrt{x} | x^{1/2} | \frac{1}{2\sqrt{x}} |
| \sqrt[3]{x} | x^{1/3} | \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} |
| x\sqrt{x} | x^{3/2} | \frac{3}{2}\sqrt{x} |
Pratique até ficar automático
A regra da potência em si é fácil. A habilidade que exige prática é a de reescrever: transformar raízes e frações em potências e lidar com expoentes negativos e fracionários sem escorregar. A lição interativa abaixo traz um fluxo constante de exercícios, confere cada resposta na hora e mostra exatamente qual expoente saiu errado. Uma sessão curta hoje vai deixar todas as derivadas seguintes mais rápidas.
Pratique agora
A regra da potência
Resolva problemas reais sobre este tópico com feedback instantâneo, dicas e uma resolução passo a passo para cada resposta. Grátis, sem cadastro para começar.
Praticar esta lição
