Derivadas trigonométricas: as seis, com demonstrações e exemplos

As funções trigonométricas aparecem por toda parte no cálculo: em ondas, molas, rodas girando e em metade das questões da sua prova. Para derivá-las você precisa de seis fórmulas, e a boa notícia é que só precisa entender de verdade duas delas. As outras saem da regra do quociente, e um padrão simples de sinais ajuda a lembrar de todas.

As seis derivadas trigonométricas

Uma derivada trigonométrica é a taxa de variação de uma função trigonométrica. Aqui estão elas, com x em radianos:

Olhe a coluna da direita. Toda função que começa com "co" (cosseno, cotangente, cossecante) tem um sinal de menos na derivada. E cada regra com "co" é a regra correspondente da coluna da esquerda com cada função trocada pela sua cofunção (\sin \leftrightarrow \cos, \tan \leftrightarrow \cot, \sec \leftrightarrow \csc) e um sinal de menos acrescentado.

Por que a derivada de sen x é cos x: leia no gráfico

Antes de qualquer álgebra, olhe os gráficos de \sin x e \cos x juntos.

Percorra a curva do seno e estime a inclinação:

• Em x = 0, o seno sobe pela origem com inclinação 1. O cosseno em 0 vale 1.
• Em x = \frac{\pi}{2}, o seno chega ao pico e fica plano por um instante. O cosseno ali vale 0.
• Em x = \pi, o seno cruza o eixo descendo com a maior inclinação possível, -1. O cosseno em \pi vale -1.
• Em x = \frac{3\pi}{2}, o seno chega ao fundo, inclinação 0. O cosseno vale 0 de novo.

Em cada ponto, a altura da curva do cosseno coincide com a inclinação da curva do seno. É isso que (\sin x)' = \cos x significa.

Faça o mesmo com o cosseno. Logo à direita de x = 0, o cosseno está no pico e começa a cair, enquanto o seno é positivo. Então a inclinação do cosseno é o oposto do seno: (\cos x)' = -\sin x.

A demonstração pela definição por limite

O gráfico convence; o limite prova. Usando a definição de derivada por limite e a identidade \sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h:

Agrupe os termos com \sin x:

Dois limites famosos terminam o trabalho: \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1 e \lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0. Então a derivada é \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x.

O primeiro desses limites vale 1 apenas em radianos. Em graus ele valeria \frac{\pi}{180}, e toda derivada trigonométrica carregaria esse fator incômodo. Esse é o verdadeiro motivo de o cálculo usar radianos.

Obtendo tangente, cotangente, secante e cossecante pela regra do quociente

As outras quatro são quocientes de seno e cosseno, então a regra do quociente as produz.

Tangente. Com \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}:

Secante. Com \sec x = \frac{1}{\cos x} (o numerador é a constante 1, cuja derivada é 0):

Cotangente e cossecante funcionam do mesmo jeito, e os sinais de menos aparecem porque a derivada de \cos x é negativa.

Exemplo resolvido 1: trigonometria com a regra da cadeia

Derive y = \sin(3x).

Passo 1. De fora: \sin u. De dentro: u = 3x.

Passo 2. Derive a de fora e mantenha a de dentro: \cos(3x).

Passo 3. Multiplique pela derivada de dentro, 3:

O mesmo padrão dá \frac{d}{dx}\cos(5x) = -5\sin(5x) e \frac{d}{dx}\tan(x^2) = 2x\sec^2(x^2). Para praticar mais a identificação da função de dentro, veja o guia da regra da cadeia.

Exemplo resolvido 2: potência de uma função trigonométrica

Derive y = \cos^2 x, que significa (\cos x)^2.

Passo 1. Camada de fora, o quadrado. 2\cos x.

Passo 2. Camada de dentro, o cosseno. Sua derivada é -\sin x.

Passo 3. Multiplique.

Usando a identidade do arco duplo 2\sin x\cos x = \sin(2x), isso se simplifica para y' = -\sin(2x).

Exemplo resolvido 3: secante com uma função de dentro

Derive y = \sec(4x).

Passo 1. A derivada de \sec u é \sec u \tan u, então a parte de fora é \sec(4x)\tan(4x).

Passo 2. A função de dentro 4x tem derivada 4.

Repare que tanto a secante quanto a tangente mantêm o 4x de dentro.

Exemplo resolvido 4: regra do produto com uma função trigonométrica

Derive y = x\cos x e depois encontre a reta tangente em x = \frac{\pi}{2}.

Passo 1. Regra do produto. Com u = x e v = \cos x:

Passo 2. Calcule em x = \frac{\pi}{2}. O ponto é \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}, 0\right). A inclinação é \cos\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}.

Passo 3. Reta tangente.

Exemplo resolvido 5: onde a reta tangente é horizontal?

Encontre todos os x em [0, 2\pi) em que y = \sin x + \cos x tem tangente horizontal.

Passo 1. Derive termo a termo.

Passo 2. Iguale a derivada a zero. \cos x = \sin x. Dividindo por \cos x (que não pode ser zero aqui, pois nesse caso \sin x seria \pm 1, e não 0), obtemos \tan x = 1.

Passo 3. Resolva no intervalo. \tan x = 1 em x = \frac{\pi}{4} e x = \frac{5\pi}{4}.

Passo 4. Encontre as alturas. Em \frac{\pi}{4}, y = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}, o máximo. Em \frac{5\pi}{4}, y = -\sqrt{2}, o mínimo. Então \sin x + \cos x é uma onda que oscila entre -\sqrt{2} e \sqrt{2}, um fato que você descobriu usando apenas as duas primeiras regras da tabela.

As derivadas de ordem superior do seno e do cosseno se repetem

Derive \sin x várias vezes seguidas:

O padrão se repete a cada quatro derivadas. Então, para encontrar a 23ª derivada de \sin x, divida 23 por 4: o resto é 3, então ela coincide com a terceira derivada, -\cos x. Esse ciclo também explica por que y = \sin x e y = \cos x resolvem a equação da mola y'' = -y.

Erros comuns com derivadas trigonométricas

1. Esquecer o sinal de menos. (\cos x)' = -\sin x, e não \sin x. Lembre: funções com "co" ganham um menos.
2. Esquecer a derivada de dentro. \frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x), e não \cos(3x).
3. Alterar a função de dentro. \frac{d}{dx}\tan(x^2) é 2x\sec^2(x^2), e não \sec^2(2x).
4. Tratar \sin^2 x como \sin(x^2). O primeiro é (\sin x)^2, com derivada 2\sin x\cos x. O segundo tem derivada 2x\cos(x^2).
5. Usar graus. Uma calculadora no modo graus vai fazer toda verificação numérica parecer errada.
6. Perder um fator na regra da secante. (\sec x)' = \sec x \tan x mantém a secante; não é só \tan x.

Referência rápida

Pratique até virarem reflexos

Você vai usar essas seis fórmulas pelo resto do cálculo, inclusive na integração, em que a tabela é lida ao contrário. O jeito mais rápido de fixá-las é usá-las. A lição interativa abaixo mistura derivadas trigonométricas simples com versões que usam a regra da cadeia e a regra do produto, e dá feedback imediato para que um sinal de menos esquecido seja pego no momento em que acontece.