Ableitungen trigonometrischer Funktionen: alle sechs mit Beweisen

Trigonometrische Funktionen tauchen in der Analysis überall auf: bei Wellen, Federn, rotierenden Rädern und in der Hälfte der Aufgaben deiner Prüfung. Um sie abzuleiten, brauchst du sechs Formeln, und die gute Nachricht ist, dass du eigentlich nur zwei wirklich verstehen musst. Der Rest folgt aus der Quotientenregel, und ein einfaches Vorzeichenmuster hilft dir, dir alle zu merken.

Die sechs Ableitungen

Die Ableitung einer trigonometrischen Funktion ist ihre Änderungsrate. Hier sind sie, mit x im Bogenmaß:

Schau auf die rechte Spalte. Jede Funktion, die mit "Ko" beginnt (Kosinus, Kotangens, Kosekans), hat ein Minuszeichen in ihrer Ableitung. Und jede "Ko"-Regel ist die passende Regel aus der linken Spalte, bei der jede Funktion durch ihre Kofunktion ersetzt (\sin \leftrightarrow \cos, \tan \leftrightarrow \cot, \sec \leftrightarrow \csc) und ein Minuszeichen ergänzt wurde.

Warum die Ableitung von sin x gleich cos x ist: am Graphen ablesen

Schau dir vor jeder Algebra die Graphen von \sin x und \cos x zusammen an.

Fahre die Sinuskurve entlang und schätze ihre Steigung:

• Bei x = 0 steigt der Sinus mit der Steigung 1 durch den Ursprung. Der Kosinus bei 0 ist 1.
• Bei x = \frac{\pi}{2} erreicht der Sinus seinen Hochpunkt und verläuft kurz waagerecht. Der Kosinus ist dort 0.
• Bei x = \pi fällt der Sinus so steil wie nie sonst, mit der Steigung -1. Der Kosinus bei \pi ist -1.
• Bei x = \frac{3\pi}{2} erreicht der Sinus seinen Tiefpunkt, Steigung 0. Der Kosinus ist wieder 0.

An jeder Stelle entspricht die Höhe der Kosinuskurve der Steigung der Sinuskurve. Genau das bedeutet (\sin x)' = \cos x.

Mach dasselbe für den Kosinus. Knapp rechts von x = 0 ist der Kosinus an seinem Hochpunkt und beginnt zu fallen, während der Sinus positiv ist. Die Steigung des Kosinus ist also das Negative des Sinus: (\cos x)' = -\sin x.

Der Beweis über die Definition mit dem Grenzwert

Der Graph überzeugt, der Grenzwert beweist. Mit der Definition der Ableitung über den Grenzwert und der Identität \sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h:

Fasse die Terme mit \sin x zusammen:

Zwei berühmte Grenzwerte erledigen den Rest: \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1 und \lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0. Die Ableitung ist also \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x.

Der erste Grenzwert ist nur im Bogenmaß gleich 1. Im Gradmaß wäre er \frac{\pi}{180}, und jede Ableitung einer Winkelfunktion würde diesen lästigen Faktor mitschleppen. Das ist der eigentliche Grund, warum die Analysis das Bogenmaß verwendet.

tan, cot, sec und csc aus der Quotientenregel

Die anderen vier sind Quotienten aus Sinus und Kosinus, also liefert sie die Quotientenregel.

Tangens. Mit \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}:

Sekans. Mit \sec x = \frac{1}{\cos x} (im Zähler steht die Konstante 1, deren Ableitung 0 ist):

Kotangens und Kosekans funktionieren genauso, und die Minuszeichen entstehen, weil die Ableitung von \cos x negativ ist.

Rechenbeispiel 1: Winkelfunktionen mit der Kettenregel

Leite y = \sin(3x) ab.

Schritt 1. Außen: \sin u. Innen: u = 3x.

Schritt 2. Leite außen ab und lass das Innere stehen: \cos(3x).

Schritt 3. Multipliziere mit der inneren Ableitung 3:

Dasselbe Muster liefert \frac{d}{dx}\cos(5x) = -5\sin(5x) und \frac{d}{dx}\tan(x^2) = 2x\sec^2(x^2). Mehr Übung im Erkennen des Inneren findest du im Leitfaden zur Kettenregel.

Rechenbeispiel 2: eine Potenz einer Winkelfunktion

Leite y = \cos^2 x ab, das bedeutet (\cos x)^2.

Schritt 1. Äußere Schicht, das Quadrat. 2\cos x.

Schritt 2. Innere Schicht, der Kosinus. Seine Ableitung ist -\sin x.

Schritt 3. Multiplizieren.

Mit der Doppelwinkelformel 2\sin x\cos x = \sin(2x) vereinfacht sich das zu y' = -\sin(2x).

Rechenbeispiel 3: Sekans mit einer inneren Funktion

Leite y = \sec(4x) ab.

Schritt 1. Die Ableitung von \sec u ist \sec u \tan u, also ist der äußere Teil \sec(4x)\tan(4x).

Schritt 2. Das Innere 4x hat die Ableitung 4.

Beachte, dass sowohl der Sekans als auch der Tangens das Innere 4x behalten.

Rechenbeispiel 4: Produktregel mit einer Winkelfunktion

Leite y = x\cos x ab und bestimme dann die Tangente bei x = \frac{\pi}{2}.

Schritt 1. Produktregel. Mit u = x und v = \cos x:

Schritt 2. Bei x = \frac{\pi}{2} auswerten. Der Punkt ist \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}, 0\right). Die Steigung ist \cos\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}.

Schritt 3. Tangente.

Rechenbeispiel 5: Wo ist die Tangente waagerecht?

Bestimme jedes x in [0, 2\pi), an dem y = \sin x + \cos x eine waagerechte Tangente hat.

Schritt 1. Summandenweise ableiten.

Schritt 2. Die Ableitung gleich null setzen. \cos x = \sin x. Teilen durch \cos x (das hier nicht null sein kann, da \sin x sonst \pm 1 wäre und nicht 0) ergibt \tan x = 1.

Schritt 3. Auf dem Intervall lösen. \tan x = 1 gilt bei x = \frac{\pi}{4} und x = \frac{5\pi}{4}.

Schritt 4. Die Höhen bestimmen. Bei \frac{\pi}{4} ist y = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}, das Maximum. Bei \frac{5\pi}{4} ist y = -\sqrt{2}, das Minimum. \sin x + \cos x ist also eine Welle, die zwischen -\sqrt{2} und \sqrt{2} schwingt, und das hast du nur mit den ersten beiden Regeln der Tabelle herausgefunden.

Höhere Ableitungen von Sinus und Kosinus wiederholen sich

Leite \sin x immer wieder ab:

Das Muster wiederholt sich alle vier Ableitungen. Um die 23. Ableitung von \sin x zu finden, teilst du 23 durch 4: Der Rest ist 3, sie entspricht also der dritten Ableitung, -\cos x. Dieser Zyklus ist auch der Grund, warum y = \sin x und y = \cos x die Schwingungsgleichung y'' = -y lösen.

Typische Fehler bei Ableitungen von Winkelfunktionen

1. Das Minuszeichen weglassen. (\cos x)' = -\sin x, nicht \sin x. Merke: "Ko"-Funktionen bekommen ein Minus.
2. Die innere Ableitung vergessen. \frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x), nicht \cos(3x).
3. Das Innere verändern. \frac{d}{dx}\tan(x^2) ist 2x\sec^2(x^2), nicht \sec^2(2x).
4. \sin^2 x wie \sin(x^2) behandeln. Das Erste ist (\sin x)^2, mit der Ableitung 2\sin x\cos x. Das Zweite hat die Ableitung 2x\cos(x^2).
5. Im Gradmaß rechnen. Ein Taschenrechner im Gradmodus lässt jede numerische Probe falsch aussehen.
6. Einen Faktor der Sekansregel verlieren. (\sec x)' = \sec x \tan x behält den Sekans; es ist nicht einfach \tan x.

Kurzübersicht

Üben, bis sie zum Reflex werden

Diese sechs Formeln brauchst du für den Rest der Analysis, auch beim Integrieren, wo du die Tabelle rückwärts liest. Am schnellsten prägst du sie dir ein, indem du sie anwendest. Die interaktive Lektion unten mischt einfache Ableitungen von Winkelfunktionen mit Varianten für Kettenregel und Produktregel und gibt dir sofort Rückmeldung, sodass ein vergessenes Minuszeichen in dem Moment auffällt, in dem es passiert.