Derivadas trigonométricas: las seis, con demostraciones y ejemplos

Las funciones trigonométricas aparecen por todas partes en cálculo: en ondas, resortes, ruedas que giran y en la mitad de los problemas de tu examen. Para derivarlas necesitas seis fórmulas, y la buena noticia es que en realidad solo necesitas entender dos. Las demás salen de la regla del cociente, y un patrón de signos sencillo te ayuda a recordarlas todas.

Las seis derivadas trigonométricas

Una derivada trigonométrica es la tasa de cambio de una función trigonométrica. Aquí las tienes, con x en radianes:

Mira la columna de la derecha. Toda función que empieza por "co" (coseno, cotangente, cosecante) tiene un signo menos en su derivada. Y cada regla "co" es la regla correspondiente de la columna izquierda con cada función cambiada por su cofunción (\sin \leftrightarrow \cos, \tan \leftrightarrow \cot, \sec \leftrightarrow \csc) y un signo menos añadido.

Por qué la derivada de sen x es cos x: léelo en la gráfica

Antes de hacer álgebra, mira juntas las gráficas de \sin x y \cos x.

Recorre la curva del seno y estima su pendiente:

• En x = 0, el seno sube por el origen con pendiente 1. El coseno en 0 vale 1.
• En x = \frac{\pi}{2}, el seno alcanza su pico y queda plano por un instante. El coseno allí vale 0.
• En x = \pi, el seno cruza hacia abajo con la mayor pendiente de bajada posible, pendiente -1. El coseno en \pi vale -1.
• En x = \frac{3\pi}{2}, el seno toca fondo, pendiente 0. El coseno vuelve a valer 0.

En cada punto, la altura de la curva del coseno coincide con la pendiente de la curva del seno. Eso es lo que significa (\sin x)' = \cos x.

Haz lo mismo con el coseno. Justo a la derecha de x = 0, el coseno está en su pico y empieza a bajar, mientras que el seno es positivo. Así que la pendiente del coseno es el opuesto del seno: (\cos x)' = -\sin x.

La demostración con la definición por límite

La gráfica convence; el límite demuestra. Usando la definición de la derivada por límite y la identidad \sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h:

Agrupa los términos con \sin x:

Dos límites famosos lo terminan: \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1 y \lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0. Así que la derivada es \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x.

Ese primer límite vale 1 solo en radianes. En grados valdría \frac{\pi}{180}, y todas las derivadas trigonométricas arrastrarían ese factor incómodo. Esta es la verdadera razón por la que el cálculo usa radianes.

Obtener tan, cot, sec y csc con la regla del cociente

Las otras cuatro son cocientes de seno y coseno, así que la regla del cociente las produce.

Tangente. Con \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}:

Secante. Con \sec x = \frac{1}{\cos x} (el numerador es la constante 1, cuya derivada es 0):

La cotangente y la cosecante funcionan igual, y los signos menos aparecen porque la derivada de \cos x es negativa.

Ejemplo resuelto 1: trigonometría con la regla de la cadena

Deriva y = \sin(3x).

Paso 1. Externa: \sin u. Interna: u = 3x.

Paso 2. Deriva la externa y conserva la interna: \cos(3x).

Paso 3. Multiplica por la derivada interna, 3:

El mismo patrón da \frac{d}{dx}\cos(5x) = -5\sin(5x) y \frac{d}{dx}\tan(x^2) = 2x\sec^2(x^2). Para practicar más cómo identificar la función interna, consulta la guía de la regla de la cadena.

Ejemplo resuelto 2: una potencia de una función trigonométrica

Deriva y = \cos^2 x, que significa (\cos x)^2.

Paso 1. Capa externa, el cuadrado. 2\cos x.

Paso 2. Capa interna, el coseno. Su derivada es -\sin x.

Paso 3. Multiplica.

Con la identidad del ángulo doble 2\sin x\cos x = \sin(2x), esto se simplifica a y' = -\sin(2x).

Ejemplo resuelto 3: secante con una función interna

Deriva y = \sec(4x).

Paso 1. La derivada de \sec u es \sec u \tan u, así que la parte externa es \sec(4x)\tan(4x).

Paso 2. La función interna 4x tiene derivada 4.

Fíjate en que tanto la secante como la tangente conservan la función interna 4x.

Ejemplo resuelto 4: regla del producto con una función trigonométrica

Deriva y = x\cos x y luego halla la recta tangente en x = \frac{\pi}{2}.

Paso 1. Regla del producto. Con u = x y v = \cos x:

Paso 2. Evalúa en x = \frac{\pi}{2}. El punto es \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}, 0\right). La pendiente es \cos\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}.

Paso 3. Recta tangente.

Ejemplo resuelto 5: ¿dónde es horizontal la recta tangente?

Halla todos los x de [0, 2\pi) donde y = \sin x + \cos x tiene una tangente horizontal.

Paso 1. Deriva término a término.

Paso 2. Iguala la derivada a cero. \cos x = \sin x. Dividir entre \cos x (que aquí no puede ser cero, porque entonces \sin x valdría \pm 1, no 0) da \tan x = 1.

Paso 3. Resuelve en el intervalo. \tan x = 1 en x = \frac{\pi}{4} y x = \frac{5\pi}{4}.

Paso 4. Halla las alturas. En \frac{\pi}{4}, y = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}, el máximo. En \frac{5\pi}{4}, y = -\sqrt{2}, el mínimo. Así que \sin x + \cos x es una onda que oscila entre -\sqrt{2} y \sqrt{2}, un hecho que encontraste con nada más que las dos primeras reglas de la tabla.

Las derivadas sucesivas del seno y el coseno se repiten

Deriva \sin x una y otra vez:

El patrón se repite cada cuatro derivadas. Así que, para hallar la derivada 23 de \sin x, divide 23 entre 4: el resto es 3, así que coincide con la tercera derivada, -\cos x. Este ciclo es también la razón por la que y = \sin x y y = \cos x resuelven la ecuación del resorte y'' = -y.

Errores comunes con las derivadas trigonométricas

1. Perder el signo menos. (\cos x)' = -\sin x, no \sin x. Recuerda: las funciones "co" llevan un menos.
2. Olvidar la derivada interna. \frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x), no \cos(3x).
3. Cambiar la función interna. \frac{d}{dx}\tan(x^2) es 2x\sec^2(x^2), no \sec^2(2x).
4. Tratar \sin^2 x como \sin(x^2). La primera es (\sin x)^2, con derivada 2\sin x\cos x. La segunda tiene derivada 2x\cos(x^2).
5. Usar grados. Una calculadora en modo grados hará que cualquier comprobación numérica parezca incorrecta.
6. Perder un factor de la regla de la secante. (\sec x)' = \sec x \tan x conserva la secante; no es solo \tan x.

Referencia rápida

Practícalas hasta que sean un reflejo

Vas a usar estas seis fórmulas durante el resto del cálculo, incluida la integración, donde lees la tabla al revés. La forma más rápida de fijarlas es usarlas. La lección interactiva de abajo mezcla derivadas trigonométricas simples con versiones que usan la regla de la cadena y la regla del producto, y te da una corrección inmediata para que un signo menos perdido se detecte en el momento en que ocurre.