La regla de la potencia para derivadas: reglas, ejemplos y trucos

Calcular derivadas con la definición por límites significa una página de álgebra para cada función. La regla de la potencia reemplaza todo eso con un atajo de una línea y, combinada con dos reglas sencillas que la acompañan, te permite derivar cualquier polinomio, raíz o potencia de x en segundos. Es la primera regla que aprendes y la que más vas a usar.

¿Qué es la regla de la potencia?

La regla de la potencia te da la derivada de x elevada a una potencia constante:

En palabras: baja el exponente adelante y luego réstale uno al exponente.

La regla funciona para cualquier número real n: enteros positivos, números negativos y fracciones. El único requisito es que la variable esté en la base y que el exponente sea una constante.

Por qué funciona la regla de la potencia

Para un entero positivo n, puedes ver el patrón a partir de la definición de derivada por límites. Al desarrollar (x + h)^n se obtiene

Así que

y cuando h \to 0 todo desaparece excepto n x^{n-1}. Esa es la regla de la potencia. Para n = 2 es exactamente el cálculo conocido (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2, que da 2x. La demostración para exponentes negativos y fraccionarios usa otras herramientas, pero la regla es la misma.

Las reglas de la constante, del múltiplo constante y de la suma

La regla de la potencia casi nunca aparece sola. Tres reglas que la acompañan te permiten combinarla con coeficientes y con varios términos.

La regla de la constante dice que una recta horizontal tiene pendiente 0. La regla del múltiplo constante dice que estirar una gráfica verticalmente por un factor c multiplica cada pendiente por c. La regla de la suma dice que puedes derivar un polinomio término a término.

Ejemplo resuelto 1: un polinomio

Deriva f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2.

Paso 1. Separa en términos. Por la regla de la suma, deriva cada término por separado.

Paso 2. Aplica la regla de la potencia con los múltiplos constantes.

• 3x^4 \to 3 \cdot 4x^3 = 12x^3
• -5x^2 \to -5 \cdot 2x = -10x
• 7x \to 7 \cdot 1 = 7
• -2 \to 0

Paso 3. Combina.

Exponentes negativos: reescribir fracciones

Una potencia de x en un denominador es un exponente negativo disfrazado:

Reescribe primero y luego aplica la regla de la potencia. Presta mucha atención al restar uno: el exponente se vuelve más negativo.

Ejemplo resuelto 2: una fracción con coeficiente

Deriva y = \frac{4}{x^3}.

Paso 1. Reescribe como potencia. y = 4x^{-3}.

Paso 2. Aplica la regla de la potencia. Baja el -3 y réstale uno: -3 - 1 = -4.

Paso 3. Reescribe sin exponentes negativos (opcional, pero normalmente se espera).

Vale la pena memorizar un caso especial: \frac{d}{dx} \frac{1}{x} = \frac{d}{dx} x^{-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}, el mismo resultado que da la definición por límites.

Consejo: fíjate dónde está el coeficiente. \frac{1}{3x^2} es \frac{1}{3}x^{-2}, pero \frac{3}{x^2} es 3x^{-2}. Solo la potencia de x sube al numerador como exponente negativo.

Exponentes fraccionarios: reescribir raíces

Las raíces son potencias fraccionarias:

Ejemplo resuelto 3: una raíz cuadrada

Deriva y = \sqrt{x}.

Paso 1. Reescribe. y = x^{1/2}.

Paso 2. Aplica la regla de la potencia. \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}, así que

Ejemplo resuelto 4: la raíz de una potencia

Deriva y = \sqrt[3]{x^2}.

Paso 1. Reescribe. y = x^{2/3}.

Paso 2. Aplica la regla de la potencia. \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}, así que

Observa que la derivada no está definida en x = 0. La gráfica de x^{2/3} tiene ahí una cúspide.

Ejemplo resuelto 5: simplifica antes de derivar

Deriva y = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x}}.

Podrías usar la regla del cociente, pero separar la fracción es más rápido.

Paso 1. Separa en términos.

Paso 2. Resta los exponentes. x^{2 - 1/2} = x^{3/2}, así que

Paso 3. Aplica la regla de la potencia a cada término.

Paso 4. Reescribe con raíces (opcional).

El mismo truco sirve para productos: desarrolla (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 y luego deriva para obtener 8x + 4.

Todo junto

Deriva y = 6\sqrt[3]{x^5} - \frac{2}{x} + 9.

Paso 1. Reescribe cada término como una potencia de x.

Paso 2. Aplica la regla de la potencia término a término. Para el primer término, \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}. Para el segundo, -1 - 1 = -2. La constante 9 pasa a 0.

Paso 3. Reescribe en forma de raíz y de fracción.

Observa cómo los dos signos menos del término del medio se combinaron en un más. Los errores de signo como ese son lo principal que hay que vigilar una vez que dominas la regla en sí.

Ejemplo resuelto 6: una recta tangente

Encuentra la ecuación de la recta tangente a y = x^3 en x = 2.

Paso 1. Encuentra el punto. y(2) = 2^3 = 8, así que el punto es (2, 8).

Paso 2. Encuentra la pendiente. \frac{dy}{dx} = 3x^2, así que la pendiente en x = 2 es 3(2)^2 = 12.

Paso 3. Usa la forma punto-pendiente.

Derivadas de orden superior con la regla de la potencia

Como la derivada de un polinomio es otro polinomio, puedes aplicar la regla de la potencia una y otra vez. La segunda derivada f''(x) es la derivada de f'(x), y mide cómo cambia la propia pendiente (la concavidad).

Ejemplo resuelto 7: primera, segunda y tercera derivadas

Encuentra f', f'' y f''' para f(x) = 2x^5 - x^3 + 4x.

Paso 1. Primera derivada. Aplica la regla de la potencia término a término:

Paso 2. Segunda derivada. Deriva f'. La constante 4 desaparece:

Paso 3. Tercera derivada.

Cada vuelta baja cada exponente en uno, así que un polinomio de grado n se vuelve 0 después de n + 1 derivadas.

La regla de la potencia como tasa de cambio

Las derivadas son tasas, así que la regla de la potencia convierte al instante fórmulas de posición en fórmulas de velocidad. Supón que la altura de una pelota en metros después de t segundos es

La variable es t en lugar de x, pero la regla es la misma. La velocidad es

y la aceleración es a(t) = v'(t) = -10 metros por segundo al cuadrado. Igualar v(t) = 0 da t = 2, el instante en que la pelota deja de subir, a una altura de s(2) = -20 + 40 + 2 = 22 metros. Todas esas respuestas salieron de la regla de la potencia y de nada más.

Errores comunes con la regla de la potencia

1. Restar uno mal con exponentes negativos. \frac{d}{dx} x^{-3} = -3x^{-4}. Pasar de -3 a -2 es el error más común.
2. Derivar una fracción pieza por pieza. \frac{d}{dx} \frac{1}{x^3} no es \frac{1}{3x^2}. Reescribe primero como x^{-3}.
3. Olvidar que las constantes pasan a 0. La derivada de -2, \pi^2 o e^3 es 0, no la propia constante.
4. Aplicar la regla de la potencia a exponenciales. \frac{d}{dx} 2^x no es x \cdot 2^{x-1}. La variable está en el exponente, así que la regla de la potencia no se aplica.
5. Usarla con una potencia de algo distinto de x. \frac{d}{dx} (3x+1)^5 necesita la regla de la cadena, que agrega un factor 3.
6. Mover un coeficiente junto con la potencia. \frac{5}{x^2} = 5x^{-2}, no 5^{-1}x^{-2}.

Referencia rápida

Practica hasta que sea automático

La regla de la potencia en sí es fácil. La habilidad que requiere práctica es reescribir: convertir raíces y fracciones en potencias, y manejar exponentes negativos y fraccionarios sin equivocarte. La lección interactiva de abajo te da un flujo constante de ejercicios, revisa cada respuesta al instante y te muestra exactamente qué exponente salió mal. Una sesión corta hoy hará más rápida cada derivada que venga después.