Substituição trigonométrica: os três casos, triângulos e exemplos

A integral \int \sqrt{4 - x^2}\,dx parece inofensiva, mas a substituição simples falha (não há um x fora da raiz para absorver o du) e a integração por partes não leva a lugar nenhum. A substituição trigonométrica elimina a raiz quadrada por completo trocando x por uma função trigonométrica, e é a forma padrão de integrar expressões com \sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{a^2 + x^2} e \sqrt{x^2 - a^2}.

O que é a substituição trigonométrica?

A substituição trigonométrica troca x por a\sin\theta, a\tan\theta ou a\sec\theta para que uma identidade pitagórica reduza a raiz quadrada a um único termo. Por exemplo, com x = 2\sin\theta:

A raiz sumiu, e sobra uma integral trigonométrica. No final, você usa um triângulo retângulo para reescrever a resposta em termos de x.

As três substituições trigonométricas

Um jeito rápido de lembrar: menos x^2 pede seno, mais pede tangente, e x^2 menos pede secante.

As substituições vêm com intervalos restritos para o ângulo (-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} para o seno, -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} para a tangente e 0 \le \theta < \frac{\pi}{2} para a secante quando x \ge a). Nesses intervalos, \cos\theta, \sec\theta e \tan\theta são não negativos, e é por isso que as raízes quadradas se simplificam sem módulo.

Os triângulos de referência, descritos em palavras

Para voltar a x, desenhe um triângulo retângulo com ângulo \theta e rotule dois lados direto da sua substituição. O terceiro lado vem do teorema de Pitágoras, e é sempre a raiz quadrada do problema.

• Caso do seno, x = a\sin\theta. Como \sin\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}, coloque x no cateto oposto a \theta e a na hipotenusa. O cateto adjacente é \sqrt{a^2 - x^2}.
• Caso da tangente, x = a\tan\theta. Como \tan\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}, coloque x no cateto oposto e a no adjacente. A hipotenusa é \sqrt{a^2 + x^2}.
• Caso da secante, x = a\sec\theta. Como \sec\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adjacente}}, coloque x na hipotenusa e a no cateto adjacente. O cateto oposto é \sqrt{x^2 - a^2}.

Com o triângulo rotulado, qualquer função trigonométrica de \theta é uma razão entre dois lados. Por exemplo, no triângulo do seno, \cot\theta = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{cateto oposto}} = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}.

O método da substituição trigonométrica em cinco passos

1. Identifique a forma e escolha a substituição na tabela.
2. Substitua x, dx e a raiz.
3. Simplifique e resolva a integral trigonométrica em \theta.
4. Monte o triângulo a partir da sua substituição.
5. Volte para x usando o triângulo (e \theta = \arcsin\frac{x}{a} ou algo parecido para qualquer \theta sozinho).

Exemplo resolvido 1: a substituição com seno

Calcule \int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}}.

Passo 1. Identifique a forma. \sqrt{9 - x^2} é \sqrt{a^2 - x^2} com a = 3, então faça x = 3\sin\theta.

Passo 2. Substitua. dx = 3\cos\theta\,d\theta, x^2 = 9\sin^2\theta e \sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta:

Passo 3. Integre. \int\csc^2\theta\,d\theta = -\cot\theta, então o resultado é -\frac19\cot\theta + C.

Passo 4. Monte o triângulo. \sin\theta = \frac{x}{3}: cateto oposto x, hipotenusa 3, cateto adjacente \sqrt{9 - x^2}.

Passo 5. Desfaça a substituição. \cot\theta = \frac{\sqrt{9-x^2}}{x}, então

Exemplo resolvido 2: a área de um quarto de círculo

Calcule \int_0^2 \sqrt{4 - x^2}\,dx.

A curva y = \sqrt{4 - x^2} é a metade de cima do círculo de raio 2, então essa integral deve ser igual a um quarto da área do círculo, \frac14\pi(2)^2 = \pi. Vamos confirmar.

Passo 1. Faça x = 2\sin\theta, então dx = 2\cos\theta\,d\theta e \sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta.

Passo 2. Mude os limites de integração. Quando x = 0, \sin\theta = 0, então \theta = 0. Quando x = 2, \sin\theta = 1, então \theta = \frac{\pi}{2}.

Passo 3. Substitua.

Passo 4. Use a identidade do arco metade \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}:

Como mudamos os limites, não foi preciso voltar para x.

Exemplo resolvido 3: a substituição com tangente

Calcule \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}.

Passo 1. A forma é \sqrt{a^2 + x^2} com a = 2. Faça x = 2\tan\theta.

Passo 2. dx = 2\sec^2\theta\,d\theta e \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{4\tan^2\theta + 4} = 2\sec\theta:

Passo 3. \int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C.

Passo 4. Triângulo. \tan\theta = \frac{x}{2}: cateto oposto x, cateto adjacente 2, hipotenusa \sqrt{x^2 + 4}. Então \sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+4}}{2}.

Passo 5. Desfaça a substituição.

O -\ln 2 é uma constante, então se junta ao C:

Exemplo resolvido 4: a substituição com secante

Calcule \int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\,dx para x > 1.

Passo 1. A forma é \sqrt{x^2 - a^2} com a = 1. Faça x = \sec\theta com 0 \le \theta < \frac{\pi}{2}.

Passo 2. dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta e \sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta:

Passo 3. Use \tan^2\theta = \sec^2\theta - 1:

Passo 4. Triângulo. \sec\theta = x: hipotenusa x, cateto adjacente 1, cateto oposto \sqrt{x^2-1}. Então \tan\theta = \sqrt{x^2-1} e \theta = \operatorname{arcsec} x.

Passo 5.

Exemplo resolvido 5: voltando um arco duplo para x

Calcule \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Passo 1. A forma é \sqrt{a^2 - x^2} com a = 1. Faça x = \sin\theta.

Passo 2. dx = \cos\theta\,d\theta e \sqrt{1 - x^2} = \cos\theta:

Passo 3. Use \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}:

Passo 4. Reescreva o arco duplo. O triângulo só dá funções de \theta, não de 2\theta, então use \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta:

Passo 5. Desfaça a substituição. O triângulo de \sin\theta = x tem cateto oposto x, hipotenusa 1 e cateto adjacente \sqrt{1-x^2}, então \cos\theta = \sqrt{1 - x^2}. E \theta = \arcsin x.

Dica: sempre que a sua resposta em \theta tiver \sin 2\theta ou \cos 2\theta, expanda com uma identidade do arco duplo antes de usar o triângulo.

Completando o quadrado primeiro

Se dentro da raiz houver um quadrático qualquer, complete o quadrado para chegar a uma das três formas. Para \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}:

Faça u = x + 1 (então du = dx). A integral vira \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 4}}, que é exatamente o exemplo 3:

Quando não usar a substituição trigonométrica

Sempre procure um método mais simples primeiro. Em \int \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx, o fator x é (a menos de uma constante) a derivada de 9 - x^2, então a substituição u = 9 - x^2 dá -\sqrt{9 - x^2} + C em duas linhas. A substituição trigonométrica funcionaria, mas é o caminho longo. Da mesma forma, uma função racional sem raiz geralmente é trabalho para frações parciais.

Erros comuns na substituição trigonométrica

1. Escolher a substituição errada. \sqrt{x^2 - 9} pede secante, não seno. Compare o padrão de sinais com cuidado.
2. Esquecer de substituir dx. dx vira a\cos\theta\,d\theta (ou a expressão correspondente), não d\theta.
3. Deixar a resposta em \theta. Uma integral indefinida precisa terminar em x. Use o triângulo.
4. Rotular o triângulo errado. Escreva a razão que define a substituição (\sin\theta = \frac{x}{a}, por exemplo) e coloque os lados a partir dela, não de memória.
5. Usar os limites antigos. Em integrais definidas, converta os limites para valores de \theta, ou volte para x antes de calcular.

Pratique os três casos até fazerem sentido

A substituição trigonométrica tem muitas partes móveis, mas todo problema segue os mesmos cinco passos. O jeito mais rápido de pegar confiança é fazer vários problemas seguidos, para os triângulos ficarem automáticos. A lição interativa abaixo dá feedback imediato em cada substituição e mostra o triângulo sempre que você travar.