Changement de variable trigonométrique : 3 cas et exemples

L'intégrale \int \sqrt{4 - x^2}\,dx a l'air inoffensive, pourtant le changement de variable classique échoue (il n'y a pas de x hors de la racine pour absorber du) et l'intégration par parties ne mène nulle part. Le changement de variable trigonométrique élimine complètement la racine carrée en remplaçant x par une fonction trigonométrique, et c'est la méthode standard pour intégrer les expressions contenant \sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{a^2 + x^2} et \sqrt{x^2 - a^2}.

Qu'est-ce que le changement de variable trigonométrique ?

Le changement de variable trigonométrique remplace x par a\sin\theta, a\tan\theta ou a\sec\theta pour qu'une identité de Pythagore réduise la racine carrée à un seul terme. Par exemple, avec x = 2\sin\theta :

La racine a disparu, et il reste une intégrale trigonométrique. À la fin, on utilise un triangle rectangle pour réécrire la réponse en fonction de x.

Les trois changements de variable trigonométriques

Un moyen rapide de s'en souvenir : moins x^2 appelle le sinus, plus appelle la tangente, et x^2 moins appelle la sécante (l'inverse du cosinus).

Ces substitutions s'accompagnent d'intervalles d'angles restreints (-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} pour le sinus, -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} pour la tangente, et 0 \le \theta < \frac{\pi}{2} pour la sécante quand x \ge a). Sur ces intervalles, \cos\theta, \sec\theta et \tan\theta sont positifs ou nuls, c'est pourquoi les racines carrées se simplifient sans valeur absolue.

Les triangles de référence, décrits en mots

Pour revenir à x, dessinez un triangle rectangle d'angle \theta et placez deux côtés directement à partir de votre substitution. Le troisième côté vient du théorème de Pythagore, et c'est toujours la racine carrée de l'énoncé.

• Cas du sinus, x = a\sin\theta. Comme \sin\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}, placez x sur le côté opposé à \theta et a sur l'hypoténuse. Le côté adjacent vaut \sqrt{a^2 - x^2}.
• Cas de la tangente, x = a\tan\theta. Comme \tan\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}, placez x sur le côté opposé et a sur le côté adjacent. L'hypoténuse vaut \sqrt{a^2 + x^2}.
• Cas de la sécante, x = a\sec\theta. Comme \sec\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}}, placez x sur l'hypoténuse et a sur le côté adjacent. Le côté opposé vaut \sqrt{x^2 - a^2}.

Une fois le triangle annoté, toute fonction trigonométrique de \theta est un rapport de deux côtés. Par exemple, dans le triangle du sinus, \cot\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{opposé}} = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}.

La méthode en cinq étapes

1. Identifiez la forme et choisissez la substitution dans le tableau.
2. Substituez x, dx et la racine.
3. Simplifiez et calculez l'intégrale trigonométrique en \theta.
4. Construisez le triangle à partir de votre substitution.
5. Revenez à x à l'aide du triangle (et de \theta = \arcsin\frac{x}{a} ou équivalent pour tout \theta seul).

Exemple corrigé 1 : la substitution par le sinus

Calculez \int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}}.

Étape 1. Identifier la forme. \sqrt{9 - x^2} est de la forme \sqrt{a^2 - x^2} avec a = 3, donc on pose x = 3\sin\theta.

Étape 2. Substituer. dx = 3\cos\theta\,d\theta, x^2 = 9\sin^2\theta et \sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta :

Étape 3. Intégrer. \int\csc^2\theta\,d\theta = -\cot\theta, donc le résultat est -\frac19\cot\theta + C.

Étape 4. Construire le triangle. \sin\theta = \frac{x}{3} : côté opposé x, hypoténuse 3, côté adjacent \sqrt{9 - x^2}.

Étape 5. Revenir à x. \cot\theta = \frac{\sqrt{9-x^2}}{x}, donc

Exemple corrigé 2 : l'aire d'un quart de disque

Calculez \int_0^2 \sqrt{4 - x^2}\,dx.

La courbe y = \sqrt{4 - x^2} est le demi-cercle supérieur de rayon 2, donc cette intégrale devrait valoir un quart de l'aire du disque, \frac14\pi(2)^2 = \pi. Vérifions-le.

Étape 1. On pose x = 2\sin\theta, donc dx = 2\cos\theta\,d\theta et \sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta.

Étape 2. Changer les bornes. Quand x = 0, \sin\theta = 0, donc \theta = 0. Quand x = 2, \sin\theta = 1, donc \theta = \frac{\pi}{2}.

Étape 3. Substituer.

Étape 4. Utiliser la formule de linéarisation \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} :

Comme on a changé les bornes, inutile de revenir à x.

Exemple corrigé 3 : la substitution par la tangente

Calculez \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}.

Étape 1. La forme est \sqrt{a^2 + x^2} avec a = 2. On pose x = 2\tan\theta.

Étape 2. dx = 2\sec^2\theta\,d\theta et \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{4\tan^2\theta + 4} = 2\sec\theta :

Étape 3. \int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C.

Étape 4. Triangle. \tan\theta = \frac{x}{2} : côté opposé x, côté adjacent 2, hypoténuse \sqrt{x^2 + 4}. Donc \sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+4}}{2}.

Étape 5. Revenir à x.

Le -\ln 2 est une constante, il s'absorbe donc dans C :

Exemple corrigé 4 : la substitution par la sécante

Calculez \int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\,dx pour x > 1.

Étape 1. La forme est \sqrt{x^2 - a^2} avec a = 1. On pose x = \sec\theta avec 0 \le \theta < \frac{\pi}{2}.

Étape 2. dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta et \sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta :

Étape 3. On utilise \tan^2\theta = \sec^2\theta - 1 :

Étape 4. Triangle. \sec\theta = x : hypoténuse x, côté adjacent 1, côté opposé \sqrt{x^2-1}. Donc \tan\theta = \sqrt{x^2-1}, et \theta = \operatorname{arcsec} x.

Étape 5.

Exemple corrigé 5 : revenir à x depuis un angle double

Calculez \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Étape 1. La forme est \sqrt{a^2 - x^2} avec a = 1. On pose x = \sin\theta.

Étape 2. dx = \cos\theta\,d\theta et \sqrt{1 - x^2} = \cos\theta :

Étape 3. On utilise \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} :

Étape 4. Réécrire l'angle double. Le triangle ne donne que des fonctions de \theta, pas de 2\theta, donc on utilise \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta :

Étape 5. Revenir à x. Le triangle pour \sin\theta = x a pour côté opposé x, pour hypoténuse 1 et pour côté adjacent \sqrt{1-x^2}, donc \cos\theta = \sqrt{1 - x^2}. Et \theta = \arcsin x.

Astuce : dès que votre réponse en \theta contient \sin 2\theta ou \cos 2\theta, développez-la avec une formule de l'angle double avant d'utiliser le triangle.

Passer d'abord à la forme canonique

Si la racine contient un trinôme quelconque, passez à la forme canonique pour retrouver l'une des trois formes. Pour \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}} :

On pose u = x + 1 (donc du = dx). L'intégrale devient \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 4}}, qui est exactement l'exemple 3 :

Quand ne pas utiliser le changement de variable trigonométrique

Cherchez toujours d'abord une méthode plus simple. Dans \int \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx, le facteur x est (à une constante près) la dérivée de 9 - x^2, donc un changement de variable avec u = 9 - x^2 donne -\sqrt{9 - x^2} + C en deux lignes. Le changement de variable trigonométrique marcherait, mais c'est le chemin le plus long. De même, une fonction rationnelle sans racine relève généralement de la décomposition en éléments simples.

Erreurs fréquentes avec le changement de variable trigonométrique

1. Choisir la mauvaise substitution. \sqrt{x^2 - 9} demande la sécante, pas le sinus. Regardez attentivement les signes.
2. Oublier de substituer dx. dx devient a\cos\theta\,d\theta (ou l'expression correspondante), et non d\theta.
3. Laisser la réponse en \theta. Une intégrale indéfinie doit se terminer en x. Utilisez le triangle.
4. Mal annoter le triangle. Écrivez le rapport de définition (\sin\theta = \frac{x}{a}, par exemple) et placez les côtés à partir de lui, plutôt que de mémoire.
5. Garder les anciennes bornes. Pour les intégrales définies, convertissez les bornes en valeurs de \theta, ou revenez à x avant d'évaluer.

Entraînez-vous sur les trois cas jusqu'au déclic

Le changement de variable trigonométrique comporte beaucoup d'étapes, mais chaque exercice suit les cinq mêmes. Le moyen le plus rapide de prendre de l'aisance est d'enchaîner plusieurs exercices pour que les triangles deviennent automatiques. La leçon interactive ci-dessous vous donne une correction immédiate pour chaque substitution et vous montre le triangle dès que vous bloquez.