Frações parciais: como decompor e integrar, passo a passo

Você consegue somar \frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1} e obter \frac{5x-1}{x^2-x-2} em poucas linhas. Mas, se uma integral lhe entrega \int \frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx, nenhuma regra básica se aplica. As frações parciais fazem essa soma ao contrário, quebrando uma fração difícil em pedaços simples que você integra de cara.

O que é a decomposição em frações parciais?

Uma função racional é um polinômio dividido por outro. A decomposição em frações parciais reescreve uma função racional como uma soma de frações mais simples, cujos denominadores são os fatores do denominador original. Por exemplo:

Cada pedaço da direita se integra num logaritmo natural, então a integral vira rotina:

Passo 0: a fração é própria?

As frações parciais só funcionam quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador. Se não for, use a divisão de polinômios primeiro.

Por exemplo, \frac{x^2+1}{x^2-1} tem graus iguais. Dividindo, obtemos

e só \frac{2}{x^2-1} precisa ser decomposta.

As formas das frações parciais

Fatore o denominador por completo. Cada tipo de fator contribui com seu próprio tipo de termo:

Um quadrático é irredutível quando não se fatora nos números reais, o que acontece quando b^2 - 4c < 0. Exemplos são x^2 + 1 e x^2 + 2x + 5.

Caso 1: fatores lineares distintos

Exemplo resolvido 1

Calcule \int \frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx.

Passo 1. Confira que é própria. Grau 1 sobre grau 2. Ótimo.

Passo 2. Fatore o denominador. x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).

Passo 3. Escreva a forma.

Passo 4. Elimine os denominadores. Multiplique os dois lados por (x-2)(x+1):

Passo 5. Substitua valores convenientes. Em x = 2 o termo com B some: 9 = 3A, então A = 3. Em x = -1 o termo com A some: -6 = -3B, então B = 2.

Passo 6. Integre.

O método de cobrir: um atalho para fatores lineares

Para um fator linear distinto (x-a), existe um atalho de uma linha. Cubra esse fator na fração original e substitua x = a no que sobrar.

Para \frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}:

• Para achar A sobre (x-2): cubra (x-2), sobrando \frac{5x-1}{x+1}. Em x = 2: \frac{9}{3} = 3.
• Para achar B sobre (x+1): cubra (x+1), sobrando \frac{5x-1}{x-2}. Em x = -1: \frac{-6}{-3} = 2.

As mesmas respostas, quase sem álgebra. É exatamente o Passo 5 feito de cabeça.

Exemplo resolvido 2: método de cobrir e divisão de polinômios juntos

Decomponha \frac{2}{x^2-1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}.

• Cubra (x-1) e calcule \frac{2}{x+1} em x = 1: A = 1.
• Cubra (x+1) e calcule \frac{2}{x-1} em x = -1: B = -1.

Juntando com a divisão de polinômios do Passo 0:

Dica: o método de cobrir dá o coeficiente de qualquer fator linear distinto e da maior potência de um fator repetido. Para as potências menores de um fator repetido e para os fatores quadráticos, use outro método.

Exemplo resolvido 3: três fatores lineares distintos

Calcule \int \frac{2x^2+6x-2}{x^3+x^2-2x}\,dx.

Passo 1. Fatore o denominador. Coloque x em evidência e fatore o quadrático:

Passo 2. Escreva a forma.

Passo 3. Cubra cada fator.

• Cubra x e calcule \frac{2x^2+6x-2}{(x-1)(x+2)} em x = 0: \frac{-2}{(-1)(2)} = 1, então A = 1.
• Cubra (x-1) e calcule \frac{2x^2+6x-2}{x(x+2)} em x = 1: \frac{6}{3} = 2, então B = 2.
• Cubra (x+2) e calcule \frac{2x^2+6x-2}{x(x-1)} em x = -2: \frac{-6}{6} = -1, então C = -1.

Passo 4. Integre.

Com três fatores lineares, resolver um sistema de equações levaria várias linhas. O método de cobrir leva três cálculos rápidos.

Exemplo resolvido 4: uma integral definida

Calcule \int_2^3 \frac{2}{x^2-1}\,dx.

Pelo exemplo 2, \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}, então

Simplifique com as propriedades dos logaritmos: \ln 2 - \ln 4 = -\ln 2 e \ln 1 - \ln 3 = -\ln 3, então o valor é -\ln 2 + \ln 3 = \ln\frac32 \approx 0.405.

Repare que o intervalo [2, 3] fica longe das assíntotas em x = \pm 1. Se um dos limites de integração estivesse numa assíntota, isso seria uma integral imprópria e precisaria de um limite.

Duas maneiras de encontrar as constantes

Você já viu os dois métodos padrão. Vale saber quando cada um é mais rápido.

• Substituir as raízes (ou cobrir). Substitua a raiz de cada fator linear na equação sem denominadores. Cada substituição zera todos os termos menos um, então você lê uma constante na hora. É o método mais rápido para fatores lineares distintos.
• Igualar coeficientes. Expanda o lado direito, agrupe as potências de x e iguale cada coeficiente ao correspondente do lado esquerdo. Isso sempre funciona, e é a única opção para fatores quadráticos e para as potências menores de um fator repetido.

Na prática, a maioria dos estudantes combina os dois: substitui raízes para obter o máximo de constantes possível e depois iguala um ou dois coeficientes para terminar.

Caso 2: fatores lineares repetidos

Exemplo resolvido 5

Calcule \int \frac{4x}{(x-1)(x+1)^2}\,dx.

Passo 1. Escreva a forma. O fator (x+1) está ao quadrado, então ganha dois termos:

Passo 2. Elimine os denominadores.

Passo 3. Substitua as raízes. Em x = 1: 4 = 4A, então A = 1. Em x = -1: -4 = -2C, então C = 2.

Passo 4. Iguale um coeficiente para a última constante. Os termos em x^2 do lado direito são Ax^2 + Bx^2, e o lado esquerdo não tem termo em x^2, então A + B = 0 e B = -1.

Passo 5. Integre cada pedaço. O último termo é uma potência, não um logaritmo:

O termo (x+1)^{-2} se integra em \frac{(x+1)^{-1}}{-1}, e é daí que vem -\frac{2}{x+1}.

Caso 3: fatores quadráticos irredutíveis

Exemplo resolvido 6

Calcule \int \frac{2x^2+2x+1}{x(x^2+1)}\,dx.

Passo 1. Escreva a forma. x^2 + 1 não pode ser fatorado, então ganha um numerador linear:

Passo 2. Elimine os denominadores e expanda.

Passo 3. Iguale os coeficientes. Termo constante: A = 1. Termo em x: C = 2. Termo em x^2: A + B = 2, então B = 1.

Passo 4. Divida o pedaço quadrático.

O pedaço do meio é uma substituição com u = x^2+1, que dá \tfrac12\ln(x^2+1). O último pedaço é um arco tangente padrão.

Passo 5. Junte tudo.

Dica: se o quadrático for algo como x^2 + 2x + 5, complete o quadrado para obter (x+1)^2 + 4 e use \int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac1a\arctan\frac{u}{a} + C.

Erros comuns com frações parciais

1. Pular a divisão de polinômios. Se a fração for imprópria, a forma da decomposição está errada e as constantes não vão fechar.
2. Dar um só termo a um fator repetido. (x+1)^2 precisa de \frac{B}{x+1} e de \frac{C}{(x+1)^2}.
3. Usar uma constante sobre um quadrático. Um quadrático irredutível precisa de Bx + C no numerador, não só de B.
4. Integrar \frac{1}{(x+1)^2} como logaritmo. É uma potência: -\frac{1}{x+1}.
5. Não fatorar por completo. x^3 - x = x(x-1)(x+1) tem três fatores lineares, não um linear e um quadrático.
6. Esquecer os módulos dentro dos logaritmos.

Resumo rápido: integrando cada pedaço

Faça a decomposição virar segunda natureza

Frações parciais são um procedimento, e procedimentos se fixam pela repetição. Depois de montar uma dúzia de decomposições, escolher a forma certa e usar o atalho de cobrir vai parecer automático. Experimente a lição interativa abaixo: ela confere cada constante enquanto você avança e mostra exatamente onde a montagem deu errado.