Regra de L'Hôpital: fórmula, condições e exemplos resolvidos
A regra de L'Hôpital calcula limites 0/0 e ∞/∞ derivando o numerador e o denominador. As condições exatas, exemplos e outras indeterminações.
Propriedades dos limites Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Aplica-se a
- Limites com indeterminação do tipo \frac{0}{0} ou \frac{\pm\infty}{\pm\infty}
- Em palavras
- Derive o numerador e o denominador separadamente e calcule o limite de novo
- Também exige
- Que o novo limite \lim \frac{f'(x)}{g'(x)} exista ou seja \pm\infty
- Vale para
- x \to a, limites laterais e x \to \pm\infty
- Outras indeterminações
- 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^\infty, 0^0, \infty^0 depois de reescrever
A regra de L'Hôpital calcula limites de frações que resultam em \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}. Em vez da fração original, você calcula o limite da derivada do numerador sobre a derivada do denominador. Muitas vezes é o caminho mais rápido para um limite que a álgebra não simplifica com facilidade.
A regra e suas condições
Suponha que f e g sejam diferenciáveis em um intervalo aberto em torno de a (exceto possivelmente em a) e que g'(x) \ne 0 ali para x \ne a. Se
então
desde que o limite da direita exista ou seja \pm\infty. O mesmo vale para limites laterais e para x \to \infty ou x \to -\infty.
Se o limite da direita não existe, a regra não diz nada. O limite original ainda pode existir.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: \frac{0}{0}. Em x = 0, \frac{\sin x}{x} é \frac{0}{0}:
(A própria derivada de \sin x é demonstrada usando esse limite, então em um curso com demonstrações você usaria o Teorema do Confronto. Para fazer contas, o atalho serve.)
Exemplo 2: aplicando a regra duas vezes. Cada passo ainda é \frac{0}{0} até o último:
Exemplo 3: \frac{\infty}{\infty}. Quando x \to \infty, tanto \ln x quanto x crescem sem limite:
Logo x cresce mais rápido que \ln x.
Exemplo 4: 0 \cdot \infty. Reescreva o produto como uma fração primeiro. Quando x \to 0^+, x \ln x tem a forma 0 \cdot (-\infty):
Outras indeterminações
| Forma | Como reescrever |
|---|---|
| 0 \cdot \infty | Escreva fg como \frac{f}{1/g} ou \frac{g}{1/f} |
| \infty - \infty | Junte em uma única fração (denominador comum ou conjugado) |
| 1^\infty, 0^0, \infty^0 | Faça y = f^g, tome \ln y = g \ln f, encontre esse limite e depois tome a exponencial |
Por exemplo, com y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x você obtém \ln y = \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}, que é \frac{0}{0} quando x \to \infty. A regra dá \ln y \to 1, então y \to e.
Erros comuns
- Usar a regra quando a forma não é indeterminada. \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2} por substituição direta. Derivar daria, erradamente, 1.
- Usar a regra do quociente. Derive f e g separadamente. Não calcule a derivada de \frac{f}{g} com a regra do quociente.
- Pular a reescrita. A regra só se aplica a uma fração. Transforme produtos, diferenças e potências em uma fração primeiro.
- Não verificar a forma de novo. Antes de cada nova aplicação, confirme que o novo limite ainda é \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}.
Para mais exemplos, incluindo limites no infinito e indeterminações com expoente, leia o guia completo da regra de L'Hôpital.
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