Substituição direta em limites: quando funciona e o que fazer depois
A substituição direta calcula um limite trocando x pelo valor. Saiba quando funciona, como ler o resultado e o que fazer com 0/0 ou a/0.
Propriedades dos limites Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Aplica-se a
- Qualquer função contínua em x = a
- Funciona para
- Polinômios em todo ponto, funções racionais onde o denominador não se anula, e \sin, \cos, e^x, \ln x, \sqrt{x} em seus domínios
- Se der um número
- Esse número é o limite
- Se der 0/0
- Indeterminação: simplifique e substitua de novo
- Se der a/0 com a ≠ 0
- O limite é infinito ou não existe
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A substituição direta é o primeiro passo em qualquer limite: troque x pelo valor de que ele se aproxima e faça a conta. Se a função é contínua ali, o valor obtido é o limite. Se você obtém \frac{0}{0} ou um número sobre zero, o resultado indica qual técnica usar em seguida.
A propriedade da substituição direta
Se f é contínua em x = a, então
Isso é, na verdade, a definição de continuidade lida ao contrário. Ela cobre a maioria das funções que você encontra: polinômios, funções racionais (onde o denominador não é zero), raízes, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas em seus domínios, além de quaisquer somas, produtos, quocientes e composições delas. São as propriedades dos limites que garantem isso.
Como ler o resultado
| Você obtém | O que significa | Próximo passo |
|---|---|---|
| Um número real L | O limite é L | Pronto |
| \frac{0}{0} | Forma indeterminada | Fatorar, racionalizar ou usar a regra de L'Hôpital |
| \frac{a}{0} com a \ne 0 | Assíntota vertical | Verificar o sinal de cada lado: \pm\infty ou não existe |
| Indefinido por outro motivo (como \sqrt{-1}) | a está fora do domínio | Olhar os limites laterais ou o domínio |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: sai um número. Polinômios e funções trigonométricas são contínuos, então substitua:
Exemplo 2: uma função racional. O denominador em x = 3 vale 2 \ne 0:
Exemplo 3: \frac{0}{0}. Substituir x = 2 em \frac{x^2 - 4}{x - 2} dá \frac{0}{0}. Fatore, cancele e substitua na expressão mais simples:
Exemplo 4: \frac{0}{0} com raiz. Para \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}, a substituição dá \frac{0}{0}. Multiplique pelo conjugado:
Agora substitua: \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}.
Exemplo 5: um número diferente de zero sobre zero. Para \lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2}, a substituição dá \frac{1}{0}. Pela direita o quociente vai para +\infty e pela esquerda para -\infty, então o limite bilateral não existe.
Por que cancelar é permitido
Um limite com x \to a depende apenas dos valores de x próximos de a, nunca de x = a em si. As funções \frac{x^2-4}{x-2} e x + 2 são iguais para todo x \ne 2, então têm o mesmo limite em 2. Cancelar altera a função apenas no único ponto que o limite ignora.
Erros comuns
- Dizer que \frac{0}{0} é zero, um ou "não existe". Não é nada disso automaticamente. Significa "continue trabalhando".
- Substituir numa função que não é contínua em a. Numa função definida por partes, o valor f(a) pode ser diferente do limite. Verifique cada lado.
- Parar em \frac{a}{0}. Determine o sinal de cada lado para dizer se a resposta é \infty, -\infty ou não existe.
- Esquecer de substituir depois de simplificar. O objetivo de fatorar é justamente chegar a uma expressão em que dê para substituir.
Quando a álgebra fica complicada, a regra de L'Hôpital resolve \frac{0}{0} com derivadas. Para o conjunto completo de técnicas, veja como calcular limites.
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Substituição direta
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