Règle de L'Hôpital : formule, conditions et exemples corrigés
La règle de L'Hôpital lève les formes indéterminées 0/0 et ∞/∞ en dérivant numérateur et dénominateur. Conditions exactes, exemples et autres formes.
Opérations sur les limites Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- S'applique à
- Limites de la forme indéterminée \frac{0}{0} ou \frac{\pm\infty}{\pm\infty}
- En mots
- Dériver séparément le numérateur et le dénominateur, puis reprendre la limite
- Exige aussi
- Que la nouvelle limite \lim \frac{f'(x)}{g'(x)} existe ou vaille \pm\infty
- Fonctionne pour
- x \to a, les limites à gauche et à droite et x \to \pm\infty
- Autres formes
- 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^\infty, 0^0, \infty^0 après réécriture
Sur cette page
La règle de L'Hôpital permet de calculer les limites de fractions qui donnent \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}. Au lieu de la fraction de départ, on prend la limite du quotient de la dérivée du numérateur par la dérivée du dénominateur. C'est souvent le moyen le plus rapide de venir à bout d'une limite que l'algèbre ne simplifie pas facilement.
La règle et ses conditions
Supposons que f et g sont dérivables sur un intervalle ouvert contenant a (sauf peut-être en a), et que g'(x) \ne 0 sur cet intervalle pour x \ne a. Si
alors
à condition que la limite de droite existe ou vaille \pm\infty. Le résultat reste vrai pour les limites à gauche et à droite et pour x \to \infty ou x \to -\infty.
Si la limite de droite n'existe pas, la règle ne permet pas de conclure. La limite de départ peut quand même exister.
Exemples corrigés
Exemple 1 : \frac{0}{0}. En x = 0, \frac{\sin x}{x} est de la forme \frac{0}{0} :
(La dérivée de \sin x se démontre elle-même à l'aide de cette limite : dans un cours axé sur les démonstrations, on utiliserait plutôt le théorème des gendarmes. Pour le calcul, le raccourci convient.)
Exemple 2 : appliquer la règle deux fois. Chaque étape reste de la forme \frac{0}{0} jusqu'à la dernière :
Exemple 3 : \frac{\infty}{\infty}. Quand x \to \infty, \ln x et x tendent tous deux vers l'infini :
Donc x croît plus vite que \ln x.
Exemple 4 : 0 \cdot \infty. On réécrit d'abord le produit sous forme de fraction. Quand x \to 0^+, x \ln x est de la forme 0 \cdot (-\infty) :
Autres formes indéterminées
| Forme | Comment la réécrire |
|---|---|
| 0 \cdot \infty | Écrire fg sous la forme \frac{f}{1/g} ou \frac{g}{1/f} |
| \infty - \infty | Regrouper en une seule fraction (dénominateur commun ou quantité conjuguée) |
| 1^\infty, 0^0, \infty^0 | Poser y = f^g, prendre \ln y = g \ln f, calculer cette limite, puis passer à l'exponentielle |
Par exemple, avec y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x on obtient \ln y = \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}, qui est de la forme \frac{0}{0} quand x \to \infty. La règle donne \ln y \to 1, donc y \to e.
Erreurs fréquentes
- Utiliser la règle quand la forme n'est pas indéterminée. \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2} par substitution directe. Dériver donnerait à tort 1.
- Utiliser la règle du quotient. Dérivez f et g séparément. Ne calculez pas la dérivée de \frac{f}{g} avec la règle du quotient.
- Sauter la réécriture. La règle ne s'applique qu'à une fraction. Transformez d'abord produits, différences et puissances en fraction.
- Ne pas revérifier la forme. Avant chaque nouvelle application, assurez-vous que la nouvelle limite est encore de la forme \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}.
Pour davantage d'exemples, notamment les limites en l'infini et les formes exponentielles, lisez le guide complet sur la règle de L'Hôpital.
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