La definición de derivada por límites, paso a paso

La pendiente de una recta es fácil: lo que sube entre lo que avanza. Pero una curva como y = x^2 se vuelve más empinada a medida que avanzas hacia la derecha, así que ¿qué significa siquiera "la pendiente en x = 1"? La definición de derivada por límites responde eso con precisión, y es la base sobre la que se construye cada regla de derivación.

¿Qué es la derivada? La definición en palabras sencillas

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto: la tasa de cambio instantánea. La encontramos tomando la pendiente entre dos puntos de la curva y dejando que el segundo punto se deslice hacia el primero.

Formalmente, la derivada de f es

siempre que este límite exista. La fracción dentro del límite se llama cociente de diferencias.

En un punto concreto x = a, la misma definición se suele escribir en una forma alternativa equivalente:

De las rectas secantes a la recta tangente

Una recta secante pasa por dos puntos de una curva. Toma los puntos (x, f(x)) y (x + h, f(x + h)). Lo que sube es f(x+h) - f(x) y lo que avanza es h, así que la pendiente de la recta secante es exactamente el cociente de diferencias:

Ahora haz h más pequeño. El segundo punto se desliza por la curva hacia el primero, y la recta secante gira. En el límite, los dos puntos se juntan y la recta secante se convierte en la recta tangente. Su pendiente es la derivada.

Aquí está f(x) = x^2 en x = 1:

Las pendientes se acercan a 2. Así que la pendiente de la recta tangente a y = x^2 en x = 1 es 2.

Cómo usar la definición por límites: el método general

Todo problema de derivada por definición sigue los mismos cuatro pasos.

1. Escribe f(x + h) reemplazando cada x de la fórmula por (x + h).
2. Forma el cociente de diferencias \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.
3. Simplifica hasta que se cancele la h del denominador. (Sustituir h = 0 de entrada siempre da \frac{0}{0}.)
4. Haz h \to 0 sustituyendo h = 0 en lo que queda.

El álgebra del paso 3 depende de la función. Son las mismas técnicas que se usan para calcular límites:

Ejemplo resuelto 1: la derivada de x²

Encuentra f'(x) para f(x) = x^2 usando la definición por límites.

Paso 1. Escribe f(x + h).

Paso 2. Forma el cociente de diferencias.

Paso 3. Saca h como factor común y cancela.

Paso 4. Haz h \to 0.

En x = 1 esto da f'(1) = 2, lo que coincide con la tabla. La recta tangente ahí es y - 1 = 2(x - 1), o sea y = 2x - 1.

Ejemplo resuelto 2: la derivada de 1/x

Encuentra f'(x) para f(x) = \frac{1}{x}.

Paso 1. Escribe f(x + h). f(x + h) = \frac{1}{x + h}.

Paso 2. Forma el cociente de diferencias.

Paso 3. Combina el numerador con un denominador común.

Al dividir entre h, se cancela:

Paso 4. Haz h \to 0.

La derivada es negativa para todo x \neq 0, lo que coincide con la gráfica de \frac{1}{x}: baja en ambas ramas. En x = 1 la pendiente es -1, así que la recta tangente es y = -x + 2.

Ejemplo resuelto 3: la derivada de √x

Encuentra f'(x) para f(x) = \sqrt{x}.

Paso 1. Escribe el cociente de diferencias.

Sustituir h = 0 da \frac{0}{0}, y no hay nada que desarrollar. Una diferencia de raíces cuadradas pide el conjugado.

Paso 2. Multiplica por el conjugado sobre sí mismo.

Paso 3. Simplifica y cancela. El numerador es simplemente h:

Paso 4. Haz h \to 0.

Esto vale para x > 0. En x = 0 la pendiente se dispara: la gráfica de \sqrt{x} empieza con una tangente vertical. En x = 4, f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}, así que la recta tangente ahí es y = \frac{1}{4}x + 1.

Ejemplo resuelto 4: la forma alternativa en un punto

Encuentra f'(3) para f(x) = x^2 - 4x usando f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.

Paso 1. Calcula f(3). f(3) = 9 - 12 = -3.

Paso 2. Plantea el límite.

Paso 3. Factoriza y cancela. x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1), así que el límite se convierte en \lim_{x \to 3} (x - 1).

Paso 4. Sustituye. f'(3) = 3 - 1 = 2.

Compruébalo con la regla de la potencia: f'(x) = 2x - 4, y f'(3) = 2.

Qué te dice la derivada

Una vez que tienes f'(x), te da más que la pendiente en un punto. Es una nueva función que informa la pendiente en cada punto, y esa pendiente tiene un significado según el contexto.

• Pendiente de la recta tangente. f'(a) es la pendiente de la recta que apenas toca la gráfica en x = a. La recta tangente es y = f(a) + f'(a)(x - a).
• Tasa de cambio instantánea. Si s(t) es la posición en el instante t, el cociente de diferencias es una velocidad promedio en un intervalo de tiempo de longitud h. Su límite, s'(t), es la velocidad en el instante t.
• Creciente o decreciente. Donde f'(x) > 0 la gráfica sube; donde f'(x) < 0 baja. Para f(x) = x^2, f'(x) = 2x es negativa para x < 0 y positiva para x > 0, que es exactamente la forma de la parábola.

La notación varía según el libro, pero todas estas significan lo mismo:

La forma de Leibniz \frac{dy}{dx} recuerda de dónde viene la derivada: un pequeño cambio en y dividido entre un pequeño cambio en x, en el límite.

Cuándo la derivada no existe

El límite de la definición puede fallar. Para f(x) = |x| en x = 0, el cociente de diferencias es \frac{|h|}{h}, que vale 1 para h > 0 y -1 para h < 0. Los límites laterales no coinciden, así que f'(0) no existe. Gráficamente, el pico en el origen no tiene una única recta tangente. Las funciones tampoco son derivables en saltos, huecos y tangentes verticales, así que una función debe ser continua para tener derivada.

Errores comunes con la definición por límites

1. Escribir f(x) + h en lugar de f(x + h). Para f(x) = x^2, f(x + h) es (x + h)^2, no x^2 + h.
2. Desarrollar (x + h)^2 como x^2 + h^2. El término del medio, 2xh, es toda la derivada. Nunca lo pierdas.
3. Sustituir h = 0 demasiado pronto. Si queda alguna h sola en un denominador, sigue simplificando.
4. Perder el signo menos en f(x+h) - f(x). Pon f(x) entre paréntesis: -(x^2 - 4x) se distribuye a ambos términos.
5. Quitar el \lim. Escribe \lim_{h \to 0} en cada línea hasta que realmente hagas h \to 0.

Referencia rápida

La práctica construye el álgebra

La definición por límites es sobre todo álgebra cuidadosa: desarrollar, combinar fracciones y multiplicar por conjugados sin perder ningún término. La lección interactiva de abajo te guía por los cocientes de diferencias paso a paso, revisa cada línea al instante y te muestra exactamente dónde se perdió un signo o un 2xh. Cuando lo entiendas, las reglas rápidas de derivación tendrán todo el sentido.