Definição de derivada por limite, passo a passo

Inclinação é fácil numa reta: variação vertical sobre variação horizontal. Mas uma curva como y = x^2 fica mais íngreme conforme você anda para a direita, então o que significa "a inclinação em x = 1"? A definição de derivada por limite responde isso com precisão, e é a base sobre a qual toda regra de derivação é construída.

O que é a derivada? A definição em linguagem simples

A derivada de uma função num ponto é a inclinação da reta tangente ali: a taxa de variação instantânea. Nós a encontramos calculando a inclinação entre dois pontos da curva e deixando o segundo ponto deslizar em direção ao primeiro.

Formalmente, a derivada de f é

sempre que esse limite existir. A fração dentro do limite se chama quociente de diferenças.

Num ponto específico x = a, a mesma definição costuma ser escrita numa forma alternativa equivalente:

Das retas secantes à reta tangente

Uma reta secante passa por dois pontos de uma curva. Tome os pontos (x, f(x)) e (x + h, f(x + h)). A variação vertical é f(x+h) - f(x) e a horizontal é h, então a inclinação da reta secante é exatamente o quociente de diferenças:

Agora diminua h. O segundo ponto desliza pela curva em direção ao primeiro, e a reta secante gira. No limite, os dois pontos se fundem e a reta secante se torna a reta tangente. Sua inclinação é a derivada.

Veja f(x) = x^2 em x = 1:

As inclinações se aproximam de 2. Então a inclinação da reta tangente a y = x^2 em x = 1 é 2.

Como usar a definição por limite: o método geral

Todo problema com a definição por limite segue os mesmos quatro passos.

1. Escreva f(x + h) trocando cada x da fórmula por (x + h).
2. Monte o quociente de diferenças \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.
3. Simplifique até o h do denominador se cancelar. (Substituir h = 0 logo de cara sempre dá \frac{0}{0}.)
4. Faça h \to 0 substituindo h = 0 no que sobrou.

A álgebra do passo 3 depende da função. São as mesmas técnicas usadas para calcular limites:

Exemplo resolvido 1: a derivada de x²

Encontre f'(x) para f(x) = x^2 usando a definição por limite.

Passo 1. Escreva f(x + h).

Passo 2. Monte o quociente de diferenças.

Passo 3. Coloque h em evidência e cancele.

Passo 4. Faça h \to 0.

Em x = 1 isso dá f'(1) = 2, como na tabela. A reta tangente ali é y - 1 = 2(x - 1), ou seja, y = 2x - 1.

Exemplo resolvido 2: a derivada de 1/x

Encontre f'(x) para f(x) = \frac{1}{x}.

Passo 1. Escreva f(x + h). f(x + h) = \frac{1}{x + h}.

Passo 2. Monte o quociente de diferenças.

Passo 3. Junte o numerador num denominador comum.

Dividir por h o cancela:

Passo 4. Faça h \to 0.

A derivada é negativa para todo x \neq 0, o que combina com o gráfico de \frac{1}{x}: ele desce nos dois ramos. Em x = 1 a inclinação é -1, então a reta tangente é y = -x + 2.

Exemplo resolvido 3: a derivada de √x

Encontre f'(x) para f(x) = \sqrt{x}.

Passo 1. Escreva o quociente de diferenças.

Substituir h = 0 dá \frac{0}{0}, e não há nada para expandir. Uma diferença de raízes quadradas pede o conjugado.

Passo 2. Multiplique pelo conjugado sobre ele mesmo.

Passo 3. Simplifique e cancele. O numerador é apenas h:

Passo 4. Faça h \to 0.

Isso vale para x > 0. Em x = 0 a inclinação explode: o gráfico de \sqrt{x} começa com uma tangente vertical. Em x = 4, f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}, então a reta tangente ali é y = \frac{1}{4}x + 1.

Exemplo resolvido 4: a forma alternativa num ponto

Encontre f'(3) para f(x) = x^2 - 4x usando f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.

Passo 1. Calcule f(3). f(3) = 9 - 12 = -3.

Passo 2. Monte o limite.

Passo 3. Fatore e cancele. x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1), então o limite vira \lim_{x \to 3} (x - 1).

Passo 4. Substitua. f'(3) = 3 - 1 = 2.

Confira com a regra da potência: f'(x) = 2x - 4, e f'(3) = 2.

O que a derivada diz

Depois que você tem f'(x), ela faz mais do que dar a inclinação num ponto. É uma nova função que informa a inclinação em cada ponto, e essa inclinação tem significado no contexto.

• Inclinação da reta tangente. f'(a) é a inclinação da reta que apenas toca o gráfico em x = a. A reta tangente é y = f(a) + f'(a)(x - a).
• Taxa de variação instantânea. Se s(t) é a posição no instante t, o quociente de diferenças é uma velocidade média num intervalo de tempo de comprimento h. Seu limite, s'(t), é a velocidade no instante t.
• Crescente ou decrescente. Onde f'(x) > 0 o gráfico sobe; onde f'(x) < 0 ele desce. Para f(x) = x^2, f'(x) = 2x é negativa para x < 0 e positiva para x > 0, que é exatamente o formato da parábola.

A notação varia de livro para livro, mas todas estas significam a mesma coisa:

A forma de Leibniz \frac{dy}{dx} lembra de onde a derivada vem: uma pequena variação em y dividida por uma pequena variação em x, no limite.

Quando a derivada não existe

O limite da definição pode falhar. Para f(x) = |x| em x = 0, o quociente de diferenças é \frac{|h|}{h}, que vale 1 para h > 0 e -1 para h < 0. Os limites laterais não coincidem, então f'(0) não existe. Graficamente, o bico na origem não tem uma única reta tangente. Funções também deixam de ser diferenciáveis em saltos, buracos e tangentes verticais, então uma função precisa ser contínua para ter derivada.

Erros comuns com a definição por limite

1. Escrever f(x) + h em vez de f(x + h). Para f(x) = x^2, f(x + h) é (x + h)^2, não x^2 + h.
2. Expandir (x + h)^2 como x^2 + h^2. O termo do meio, 2xh, é a derivada inteira. Nunca o descarte.
3. Substituir h = 0 cedo demais. Se ainda houver um h sozinho num denominador, continue simplificando.
4. Perder o sinal de menos em f(x+h) - f(x). Coloque f(x) entre parênteses: -(x^2 - 4x) se distribui pelos dois termos.
5. Deixar de escrever o \lim. Escreva \lim_{h \to 0} em todas as linhas até realmente fazer h \to 0.

Resumo rápido

A prática constrói a álgebra

A definição por limite é, em grande parte, álgebra cuidadosa: expandir, juntar frações e multiplicar pelo conjugado sem perder nenhum termo. A lição interativa abaixo conduz você pelos quocientes de diferenças um passo de cada vez, confere cada linha na hora e mostra exatamente onde um sinal ou um 2xh se perdeu. Quando a ideia fizer sentido, as regras práticas vão ficar completamente claras.