Définition de la dérivée par la limite, pas à pas

La pente d'une droite est facile à calculer : la variation verticale divisée par la variation horizontale. Mais une courbe comme y = x^2 devient de plus en plus raide vers la droite, alors que veut dire « la pente en x = 1 » ? La définition de la dérivée par la limite répond précisément à cette question, et c'est la base sur laquelle reposent toutes les formules de dérivation.

Qu'est-ce que la dérivée ? La définition en mots simples

La dérivée d'une fonction en un point est la pente de la tangente en ce point : le taux de variation instantané. On la trouve en calculant la pente entre deux points de la courbe, puis en faisant glisser le second point vers le premier.

Formellement, la dérivée de f est

lorsque cette limite existe. La fraction à l'intérieur de la limite s'appelle le taux d'accroissement.

En un point précis x = a, la même définition s'écrit souvent sous une forme équivalente :

Des sécantes à la tangente

Une sécante passe par deux points d'une courbe. Prenons les points (x, f(x)) et (x + h, f(x + h)). La variation verticale vaut f(x+h) - f(x) et la variation horizontale vaut h, donc la pente de la sécante est exactement le taux d'accroissement :

Faisons maintenant rétrécir h. Le second point glisse le long de la courbe vers le premier, et la sécante pivote. À la limite, les deux points se confondent et la sécante devient la tangente. Sa pente est la dérivée.

Voici f(x) = x^2 en x = 1 :

Les pentes se rapprochent de 2. La pente de la tangente à y = x^2 en x = 1 vaut donc 2.

Utiliser la définition par la limite : la méthode générale

Tout exercice sur la définition par la limite suit les mêmes quatre étapes.

1. Écrivez f(x + h) en remplaçant chaque x de la formule par (x + h).
2. Formez le taux d'accroissement \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.
3. Simplifiez jusqu'à ce que le h du dénominateur disparaisse. (Poser tout de suite h = 0 donne toujours \frac{0}{0}.)
4. Faites tendre h \to 0 en posant h = 0 dans ce qui reste.

Le calcul de l'étape 3 dépend de la fonction. Ce sont les mêmes techniques que pour le calcul des limites :

Exemple corrigé 1 : la dérivée de x²

Trouvez f'(x) pour f(x) = x^2 à l'aide de la définition par la limite.

Étape 1. Écrire f(x + h).

Étape 2. Former le taux d'accroissement.

Étape 3. Factoriser par h et simplifier.

Étape 4. Faire tendre h \to 0.

En x = 1, cela donne f'(1) = 2, ce qui correspond au tableau. La tangente en ce point a pour équation y - 1 = 2(x - 1), soit y = 2x - 1.

Exemple corrigé 2 : la dérivée de 1/x

Trouvez f'(x) pour f(x) = \frac{1}{x}.

Étape 1. Écrire f(x + h). f(x + h) = \frac{1}{x + h}.

Étape 2. Former le taux d'accroissement.

Étape 3. Mettre le numérateur au même dénominateur.

La division par h le fait disparaître :

Étape 4. Faire tendre h \to 0.

La dérivée est négative pour tout x \neq 0, ce qui correspond à la courbe de \frac{1}{x} : elle descend sur ses deux branches. En x = 1, la pente vaut -1, donc la tangente est y = -x + 2.

Exemple corrigé 3 : la dérivée de √x

Trouvez f'(x) pour f(x) = \sqrt{x}.

Étape 1. Écrire le taux d'accroissement.

Poser h = 0 donne \frac{0}{0}, et il n'y a rien à développer. Une différence de racines carrées appelle l'expression conjuguée.

Étape 2. Multiplier en haut et en bas par l'expression conjuguée.

Étape 3. Simplifier. Le numérateur vaut simplement h :

Étape 4. Faire tendre h \to 0.

Ce résultat vaut pour x > 0. En x = 0, la pente explose : la courbe de \sqrt{x} démarre avec une tangente verticale. En x = 4, f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}, donc la tangente en ce point est y = \frac{1}{4}x + 1.

Exemple corrigé 4 : l'autre forme, en un point

Trouvez f'(3) pour f(x) = x^2 - 4x à l'aide de f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.

Étape 1. Calculer f(3). f(3) = 9 - 12 = -3.

Étape 2. Poser la limite.

Étape 3. Factoriser et simplifier. x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1), donc la limite devient \lim_{x \to 3} (x - 1).

Étape 4. Substituer. f'(3) = 3 - 1 = 2.

Vérification avec la règle de la puissance : f'(x) = 2x - 4, et f'(3) = 2.

Ce que la dérivée vous apprend

Une fois f'(x) obtenue, elle ne donne pas seulement la pente en un point. C'est une nouvelle fonction qui indique la pente en chaque point, et cette pente a un sens concret.

• Pente de la tangente. f'(a) est la pente de la droite qui touche juste la courbe en x = a. La tangente a pour équation y = f(a) + f'(a)(x - a).
• Taux de variation instantané. Si s(t) est la position à l'instant t, le taux d'accroissement est une vitesse moyenne sur un intervalle de temps de longueur h. Sa limite, s'(t), est la vitesse à l'instant t.
• Croissance ou décroissance. Là où f'(x) > 0, la courbe monte ; là où f'(x) < 0, elle descend. Pour f(x) = x^2, f'(x) = 2x est négative pour x < 0 et positive pour x > 0, ce qui correspond exactement à la forme de la parabole.

Les notations varient selon les manuels, mais elles veulent toutes dire la même chose :

La notation de Leibniz \frac{dy}{dx} rappelle d'où vient la dérivée : une petite variation de y divisée par une petite variation de x, à la limite.

Quand la dérivée n'existe pas

La limite de la définition peut ne pas exister. Pour f(x) = |x| en x = 0, le taux d'accroissement vaut \frac{|h|}{h}, c'est-à-dire 1 pour h > 0 et -1 pour h < 0. Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc f'(0) n'existe pas. Graphiquement, le point anguleux à l'origine n'a pas de tangente unique. Une fonction n'est pas dérivable non plus aux sauts, aux trous et aux tangentes verticales : une fonction doit être continue pour avoir une dérivée.

Erreurs fréquentes avec la définition par la limite

1. Écrire f(x) + h au lieu de f(x + h). Pour f(x) = x^2, f(x + h) vaut (x + h)^2, et non x^2 + h.
2. Développer (x + h)^2 en x^2 + h^2. Le terme du milieu 2xh contient toute la dérivée. Ne l'oubliez jamais.
3. Poser h = 0 trop tôt. S'il reste un h seul au dénominateur, continuez à simplifier.
4. Perdre le signe moins dans f(x+h) - f(x). Mettez f(x) entre parenthèses : -(x^2 - 4x) se distribue sur les deux termes.
5. Oublier le \lim. Écrivez \lim_{h \to 0} à chaque ligne jusqu'au moment où vous faites vraiment tendre h \to 0.

Mémo

L'entraînement construit l'aisance en calcul

La définition par la limite, c'est surtout du calcul algébrique soigné : développer, mettre au même dénominateur et multiplier par l'expression conjuguée sans perdre de terme. La leçon interactive ci-dessous vous guide dans les taux d'accroissement une étape à la fois, vérifie chaque ligne instantanément et vous montre exactement où un signe ou un 2xh a disparu. Une fois le déclic passé, les formules de dérivation prendront tout leur sens.