Problemas de optimización en cálculo: un método de 5 pasos

¿Qué dimensiones dan la caja más grande, el terreno más amplio o la lata más barata? Estos son problemas de optimización, y es donde las derivadas dejan de ser símbolos y empiezan a responder preguntas reales. Al principio también parecen difíciles, porque el cálculo es fácil pero plantear la función no lo es. Un método fijo de cinco pasos elimina las adivinanzas.

¿Qué es un problema de optimización?

Un problema de optimización pide el valor máximo o mínimo de alguna cantidad, sujeto a una condición. La cantidad que quieres hacer lo más grande o lo más pequeña posible es la función objetivo. La condición que limita tus opciones es la restricción.

El hecho clave del cálculo es que una función suave solo puede alcanzar un máximo o un mínimo dentro de un intervalo donde su derivada es cero (o no está definida), o bien en un extremo:

Así que todo el trabajo consiste en convertir un problema escrito en una función de una variable, y luego encontrar y probar esos puntos candidatos.

El método de 5 pasos para problemas de optimización

1. Dibuja y nombra. Haz un esquema de la situación y asigna una variable a cada cantidad que cambia.
2. Escribe el objetivo. Escribe una fórmula para la cantidad que vas a maximizar o minimizar. Normalmente tendrá dos variables.
3. Usa la restricción para quedarte con una variable. Despeja una variable de la restricción y sustitúyela. Indica el dominio: ¿qué valores tienen sentido físico?
4. Encuentra los puntos críticos. Deriva, iguala la derivada a cero y resuelve.
5. Comprueba y responde. Confirma el máximo o el mínimo (extremos, criterio de la primera derivada o de la segunda derivada) y luego responde exactamente lo que se pregunta, con unidades.

Ejemplo resuelto 1: la caja abierta más grande

Una hoja cuadrada de cartón mide 12 pulgadas de lado. Recortas cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblas los lados hacia arriba para formar una caja sin tapa. ¿De qué tamaño deben ser los cuadrados para obtener el mayor volumen?

Paso 1. Dibuja y nombra. Sea x el lado de cada cuadrado recortado. Esa será la altura de la caja. La base es un cuadrado de lado 12 - 2x, porque se quita x en cada extremo.

Paso 2. Objetivo. El volumen es el área de la base por la altura:

Paso 3. Dominio. Aquí la restricción ya está incluida, así que V es función solo de x. No puedes recortar un cuadrado negativo, ni recortar más de la mitad del lado, así que 0 \le x \le 6.

Paso 4. Puntos críticos. Usa la regla del producto y la regla de la cadena:

V' = 0 en x = 6 y en x = 2.

Paso 5. Comprueba. Compara los puntos críticos y los extremos: V(0) = 0, V(6) = 0 y V(2) = 2\cdot 8^2 = 128.

Respuesta: recorta cuadrados de 2 pulgadas. La caja mide 8 por 8 por 2 pulgadas, con un volumen de 128 pulgadas cúbicas.

Ejemplo resuelto 2: cercar un terreno junto a un río

Un agricultor tiene 600 pies de cerca para encerrar un terreno rectangular junto a un río recto. No se necesita cerca a lo largo del río. ¿Qué dimensiones dan el área más grande?

Paso 1. Dibuja y nombra. Sea x cada lado perpendicular al río y y el lado paralelo a él.

Paso 2. Objetivo. Área A = xy.

Paso 3. Restricción. La cerca cubre dos lados de longitud x y uno de longitud y: 2x + y = 600, así que y = 600 - 2x. Sustituye:

Paso 4. Puntos críticos. A'(x) = 600 - 4x = 0 da x = 150.

Paso 5. Comprueba. A''(x) = -4 < 0, así que la gráfica es cóncava hacia abajo y x = 150 es un máximo. Los extremos dan A(0) = A(300) = 0, lo que lo confirma.

Respuesta: los lados perpendiculares al río miden 150 pies y el lado a lo largo del río mide 600 - 300 = 300 pies, para un área máxima de 45{,}000 pies cuadrados.

Observa que la respuesta no es un cuadrado. Como el río ahorra un lado de cerca, conviene que el lado paralelo sea el doble de largo.

Ejemplo resuelto 3: la lata que usa menos metal

Una lata cilíndrica cerrada debe contener 1000 centímetros cúbicos. ¿Qué radio y qué altura minimizan el área de su superficie?

Paso 1. Dibuja y nombra. Radio r, altura h, ambos en centímetros.

Paso 2. Objetivo. La superficie está formada por las dos tapas circulares más el lateral:

Paso 3. Restricción. El volumen es fijo: \pi r^2 h = 1000, así que h = \dfrac{1000}{\pi r^2}. Sustituye:

Paso 4. Puntos críticos.

Paso 5. Comprueba. El dominio r > 0 no tiene extremos, así que usa la segunda derivada: S''(r) = 4\pi + \dfrac{4000}{r^3} > 0 para todo r > 0. La curva es cóncava hacia arriba en todas partes, así que este punto crítico es el mínimo absoluto.

Para la altura, usa \pi r^3 = 500: h = \dfrac{1000}{\pi r^2} = \dfrac{1000\,r}{\pi r^3} = \dfrac{1000\,r}{500} = 2r \approx 10.84.

Respuesta: r \approx 5.42 cm y h \approx 10.84 cm, con unos 554 centímetros cuadrados de metal. La mejor lata es exactamente tan alta como ancha.

Por qué importa revisar los extremos

La derivada solo encuentra puntos de giro. Si el dominio es un intervalo cerrado, el mejor valor puede estar en un borde donde la derivada no vale cero en absoluto.

Encuentra el máximo y el mínimo de f(x) = x^3 - 3x en [0, 3].

• f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 da x = \pm 1. Solo x = 1 está en el intervalo.
• Evalúa todos los candidatos: f(0) = 0, f(1) = -2, f(3) = 27 - 9 = 18.

El mínimo es -2 en x = 1, pero el máximo es 18 en el extremo x = 3. Igualar la derivada a cero por sí solo lo habría pasado por alto por completo. Esta comparación entre puntos críticos y extremos se llama método del intervalo cerrado.

Consejo: si el dominio es abierto (como r > 0 en la lata), no hay extremos que revisar. Usa el criterio de la segunda derivada, o muestra que la función decrece y luego crece, para demostrar que el punto crítico es el mejor absoluto. Consulta trazado de curvas con derivadas para ambos criterios.

Errores comunes en los problemas de optimización

1. Derivar con dos variables. Debes usar la restricción para eliminar una variable antes de derivar.
2. Saltarse el dominio. Sin él no puedes revisar los extremos ni descartar respuestas imposibles como x = 6 en el problema de la caja.
3. Suponer que el punto crítico es un máximo. Podría ser un mínimo. Compruébalo siempre.
4. Responder la pregunta equivocada. Si te preguntan el área máxima, x = 150 no es la respuesta; lo son 45{,}000 pies cuadrados.
5. Olvidar las unidades. Una respuesta de "2" está incompleta. Escribe "cuadrados de 2 pulgadas".
6. Errores de álgebra en la restricción. En el problema de la cerca, escribir 2x + 2y = 600 también cerca el lado del río. Lee el problema con cuidado.

Referencia rápida

Toma confianza con la práctica

La optimización premia la repetición más que casi cualquier otro tema, porque lo difícil es el planteamiento, y los planteamientos siguen unos pocos patrones. La lección interactiva de abajo te guía por cada paso con retroalimentación al instante, para que aprendas a identificar rápido el objetivo, la restricción y el dominio, antes de que corra el reloj de un examen.