Problèmes d'optimisation en analyse : méthode en 5 étapes

Quelles dimensions donnent la plus grande boîte, le plus grand champ ou la canette la moins chère ? Ce sont des problèmes d'optimisation, et c'est là que les dérivées cessent d'être des symboles pour répondre à de vraies questions. Ils paraissent difficiles au début, car l'analyse est facile mais la mise en équation ne l'est pas. Une méthode fixe en cinq étapes supprime les tâtonnements.

Qu'est-ce qu'un problème d'optimisation ?

Un problème d'optimisation demande la valeur maximale ou minimale d'une grandeur, sous une condition. La grandeur que l'on veut rendre aussi grande ou aussi petite que possible est la fonction objectif. La condition qui limite les choix est la contrainte.

Le résultat clé de l'analyse est qu'une fonction régulière ne peut atteindre un maximum ou un minimum qu'en un point intérieur où sa dérivée est nulle (ou n'existe pas), ou bien en une borne :

Tout le travail consiste donc à transformer un énoncé en une fonction d'une seule variable, puis à trouver et tester ces points candidats.

La méthode en 5 étapes pour les problèmes d'optimisation

1. Dessiner et nommer. Schématisez la situation et attribuez une variable à chaque grandeur qui varie.
2. Écrire l'objectif. Écrivez une formule pour la grandeur à maximiser ou minimiser. Elle aura généralement deux variables.
3. Utiliser la contrainte pour n'avoir qu'une variable. Exprimez une variable à l'aide de la contrainte et substituez. Précisez le domaine : quelles valeurs ont un sens physique ?
4. Trouver les points critiques. Dérivez, annulez la dérivée et résolvez.
5. Tester et répondre. Confirmez le maximum ou le minimum (bornes, test de la dérivée première ou seconde), puis répondez exactement à la question, avec les unités.

Exemple corrigé 1 : la plus grande boîte sans couvercle

Une feuille de carton carrée mesure 12 cm de côté. On découpe des carrés identiques aux quatre coins et on replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Quelle taille de carrés donne le plus grand volume ?

Étape 1. Dessiner et nommer. Soit x le côté de chaque carré découpé. C'est la hauteur de la boîte. Le fond est un carré de côté 12 - 2x, puisqu'on retire x à chaque bout.

Étape 2. Objectif. Le volume est l'aire du fond multipliée par la hauteur :

Étape 3. Domaine. Ici, la contrainte est déjà intégrée, donc V est une fonction de x seul. On ne peut pas découper un carré de côté négatif, ni découper plus de la moitié du côté, donc 0 \le x \le 6.

Étape 4. Points critiques. On utilise la règle du produit et la règle de dérivation en chaîne :

V' = 0 pour x = 6 et x = 2.

Étape 5. Tester. On compare les points critiques et les bornes : V(0) = 0, V(6) = 0 et V(2) = 2\cdot 8^2 = 128.

Réponse : découpez des carrés de 2 cm. La boîte mesure 8 cm sur 8 cm sur 2 cm, pour un volume de 128 cm³.

Exemple corrigé 2 : clôturer un champ le long d'une rivière

Un agriculteur dispose de 600 mètres de clôture pour délimiter un champ rectangulaire le long d'une rivière rectiligne. Aucune clôture n'est nécessaire le long de la rivière. Quelles dimensions donnent la plus grande aire ?

Étape 1. Dessiner et nommer. Soit x chacun des côtés perpendiculaires à la rivière et y le côté parallèle.

Étape 2. Objectif. L'aire vaut A = xy.

Étape 3. Contrainte. La clôture couvre deux côtés de longueur x et un de longueur y : 2x + y = 600, donc y = 600 - 2x. On substitue :

Étape 4. Points critiques. A'(x) = 600 - 4x = 0 donne x = 150.

Étape 5. Tester. A''(x) = -4 < 0, donc la courbe est concave et x = 150 est un maximum. Les bornes donnent A(0) = A(300) = 0, ce qui le confirme.

Réponse : les côtés perpendiculaires à la rivière mesurent 150 mètres et le côté le long de la rivière 600 - 300 = 300 mètres, pour une aire maximale de 45{,}000 mètres carrés.

Remarquez que la réponse n'est pas un carré. Comme la rivière économise un côté de clôture, il est avantageux de rendre le côté parallèle deux fois plus long.

Exemple corrigé 3 : la canette qui utilise le moins de métal

Une canette cylindrique fermée doit contenir 1000 centimètres cubes. Quels rayon et hauteur minimisent son aire totale ?

Étape 1. Dessiner et nommer. Rayon r, hauteur h, tous deux en centimètres.

Étape 2. Objectif. La surface comprend les deux disques des extrémités et la paroi latérale :

Étape 3. Contrainte. Le volume est fixé : \pi r^2 h = 1000, donc h = \dfrac{1000}{\pi r^2}. On substitue :

Étape 4. Points critiques.

Étape 5. Tester. Le domaine r > 0 n'a pas de bornes, donc on utilise la dérivée seconde : S''(r) = 4\pi + \dfrac{4000}{r^3} > 0 pour tout r > 0. La courbe est convexe partout, donc ce point critique est le minimum absolu.

Pour la hauteur, on utilise \pi r^3 = 500 : h = \dfrac{1000}{\pi r^2} = \dfrac{1000\,r}{\pi r^3} = \dfrac{1000\,r}{500} = 2r \approx 10.84.

Réponse : r \approx 5.42 cm et h \approx 10.84 cm, soit environ 554 centimètres carrés de métal. La meilleure canette est exactement aussi haute que large.

Pourquoi il faut vérifier les bornes

La dérivée ne trouve que les points où la fonction change de sens de variation. Si le domaine est un intervalle fermé, la meilleure valeur peut se trouver au bord, là où la dérivée n'est pas nulle du tout.

Trouvez le maximum et le minimum de f(x) = x^3 - 3x sur [0, 3].

• f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 donne x = \pm 1. Seul x = 1 est dans l'intervalle.
• On évalue tous les candidats : f(0) = 0, f(1) = -2, f(3) = 27 - 9 = 18.

Le minimum vaut -2 en x = 1, mais le maximum vaut 18 à la borne x = 3. Annuler la dérivée seule l'aurait complètement manqué. Cette comparaison des points critiques et des bornes s'appelle la méthode de l'intervalle fermé.

Astuce : si le domaine est ouvert (comme r > 0 pour la canette), il n'y a pas de bornes à vérifier. Utilisez le test de la dérivée seconde, ou montrez que la fonction décroît puis croît, pour prouver que le point critique est le meilleur absolu. Voir l'étude de fonction avec les dérivées pour les deux tests.

Erreurs fréquentes dans les problèmes d'optimisation

1. Dériver avec deux variables. Il faut utiliser la contrainte pour éliminer une variable avant de dériver.
2. Oublier le domaine. Sans lui, impossible de vérifier les bornes ou d'écarter des réponses impossibles comme x = 6 dans le problème de la boîte.
3. Supposer que le point critique est un maximum. Ce peut être un minimum. Testez toujours.
4. Répondre à la mauvaise question. Si l'on demande l'aire maximale, la réponse n'est pas x = 150, mais 45{,}000 mètres carrés.
5. Oublier les unités. Une réponse « 2 » est incomplète. Écrivez « des carrés de 2 cm ».
6. Erreurs de calcul dans la contrainte. Dans le problème de la clôture, écrire 2x + 2y = 600 revient à clôturer aussi le côté de la rivière. Lisez l'énoncé attentivement.

Mémo

Gagnez en aisance par l'entraînement

L'optimisation récompense la répétition plus que presque tout autre chapitre, car la difficulté est la mise en équation, et les mises en équation suivent une poignée de schémas. La leçon interactive ci-dessous vous guide à chaque étape avec une correction immédiate, pour apprendre à repérer rapidement l'objectif, la contrainte et le domaine, avant que le chronomètre de l'examen ne tourne.