Razones de cambio relacionadas: método con la escalera y el cono

Se bombea aire a un globo a un ritmo constante. ¿El radio también crece a un ritmo constante? No, y averiguar exactamente qué tan rápido crece es un problema de razones de cambio relacionadas. Estos problemas asustan a muchos estudiantes porque tienen mucho texto, pero todos siguen la misma receta corta. Una vez que la ves, la escalera, el globo y el cono son el mismo problema con distinto disfraz.

¿Qué son las razones de cambio relacionadas?

En un problema de razones de cambio relacionadas, dos o más cantidades cambian con el tiempo y están ligadas por una ecuación. Sabes qué tan rápido cambia una de ellas, y quieres saber qué tan rápido cambia otra en un momento concreto.

La herramienta es la derivación implícita respecto al tiempo. Si x y y dependen ambas de t, la regla de la cadena da, por ejemplo,

Cada variable aporta su propia razón de cambio. Esa única ecuación es la que hace que las razones de cambio queden "relacionadas".

El método de las razones de cambio relacionadas

1. Haz un dibujo y asigna una variable a cada cantidad que cambia. Escribe las constantes con su número.
2. Anota lo que sabes y lo que buscas, como razones de cambio: por ejemplo, "sé que \frac{dx}{dt} = 2, busco \frac{dy}{dt} cuando x = 6".
3. Escribe una ecuación que relacione las variables (Pitágoras, una fórmula de volumen, triángulos semejantes).
4. Deriva ambos lados respecto a t.
5. Sustituye los valores del momento en cuestión y luego despeja la razón de cambio desconocida. Incluye las unidades y revisa el signo.

La regla más importante está en los pasos 4 y 5: primero deriva, después sustituye.

Ejemplo resuelto 1: la escalera que resbala

Una escalera de 10 pies está apoyada contra una pared. La base se aleja de la pared a 2 pies por segundo. ¿Qué tan rápido baja la parte de arriba cuando la base está a 6 pies de la pared?

Paso 1. Dibujo. Sea x la distancia de la pared a la base de la escalera y y la altura de la parte de arriba. La longitud de la escalera, 10, es constante.

Paso 2. Lo que sé y lo que busco. Sé que \frac{dx}{dt} = 2 pies/s. Busco \frac{dy}{dt} cuando x = 6.

Paso 3. Ecuación. La pared, el suelo y la escalera forman un triángulo rectángulo:

Paso 4. Deriva respecto a t.

Paso 5. Sustituye y despeja. Cuando x = 6, la ecuación da y = \sqrt{100 - 36} = 8. Así que

Respuesta: la parte de arriba baja a 1,5 pies por segundo. El signo negativo significa que la altura disminuye, lo que coincide con el dibujo.

La gráfica muestra algo que la fórmula esconde. La curva se vuelve más empinada a medida que x se acerca a 10, así que, aunque la base se mueva a unos constantes 2 pies/s, la parte de arriba cae cada vez más rápido hacia el final.

Ejemplo resuelto 2: el globo que se infla

Se bombea aire a un globo esférico a 100 centímetros cúbicos por segundo. ¿Qué tan rápido aumenta el radio cuando el radio mide 5 cm?

Paso 1. Dibujo. Una esfera de radio r y volumen V, ambos cambiando.

Paso 2. Lo que sé y lo que busco. Sé que \frac{dV}{dt} = 100 cm³/s. Busco \frac{dr}{dt} cuando r = 5.

Paso 3. Ecuación. El volumen de una esfera:

Paso 4. Deriva respecto a t.

Paso 5. Sustituye y despeja.

Respuesta: en ese momento el radio crece a unos 0,32 cm por segundo.

Esto responde la pregunta del inicio. Resolver el paso 4 en general da \frac{dr}{dt} = \frac{100}{4\pi r^2} = \frac{25}{\pi r^2}, que se hace más pequeño a medida que r crece. El aire entra a un ritmo constante, pero tiene que repartirse sobre una superficie cada vez más grande, así que el radio crece más despacio.

Puedes llevar el mismo ejemplo más lejos. El área de la superficie es S = 4\pi r^2, así que \frac{dS}{dt} = 8\pi r\frac{dr}{dt} = 8\pi(5)\cdot\frac{1}{\pi} = 40 cm²/s en ese mismo momento.

Ejemplo resuelto 3: llenar un tanque en forma de cono

Un tanque es un cono invertido de 12 pies de altura con un radio superior de 4 pies. El agua entra a 2 pies cúbicos por minuto. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando el agua tiene 6 pies de profundidad?

Paso 1. Dibujo. El agua forma un cono más pequeño con profundidad h y radio de superficie r, ambos cambiando.

Paso 2. Lo que sé y lo que busco. Sé que \frac{dV}{dt} = 2 pies³/min. Busco \frac{dh}{dt} cuando h = 6.

Paso 3. Ecuación. El volumen del cono es V = \frac{1}{3}\pi r^2 h, que tiene dos variables que cambian. Elimina r con triángulos semejantes: el cono de agua tiene la misma forma que el tanque, así que

Sustituye esta relación (se cumple en todo momento, así que es seguro usarla ya):

Paso 4. Deriva respecto a t.

Paso 5. Sustituye y despeja. Con h = 6:

Respuesta: el nivel del agua sube a unos 0,16 pies por minuto, es decir, aproximadamente 1,9 pulgadas por minuto.

Consejo: en los problemas de conos, elimina el radio con triángulos semejantes antes de derivar. Si no, te quedan \frac{dr}{dt} y \frac{dh}{dt} con una sola ecuación.

Errores comunes: sustituir demasiado pronto, y otros

1. Sustituir los números antes de derivar. Este es el más grave. En el problema de la escalera, supón que sustituyes primero x = 6:

Derivar ahora da 2y\frac{dy}{dt} = 0, así que \frac{dy}{dt} = 0. Eso dice que la parte de arriba de la escalera no se mueve, lo cual es absurdo. Al sustituir x = 6 congelaste x y borraste \frac{dx}{dt}. Los valores del "momento en cuestión" son una foto instantánea; sustitúyelos solo después de derivar.

La excepción es una constante de verdad. La longitud de la escalera, 10, y las medidas del tanque, 4 y 12, nunca cambian, así que puedes usarlas desde el principio. La relación r = \frac{h}{3} también es segura, porque se cumple en todo instante.

2. Olvidar un factor de razón de cambio. \frac{d}{dt}(r^3) = 3r^2\frac{dr}{dt}, no 3r^2. Cada variable que cambia lleva su propia razón de cambio.

3. Signos equivocados. Si una cantidad se reduce (un tanque que se vacía, la parte de arriba de una escalera que cae), su razón de cambio es negativa. Escríbela así, y compara el signo de tu respuesta con el dibujo.

4. Valores que faltan. En el problema de la escalera te dan x, pero también necesitas y. Usa la ecuación original para encontrarla.

5. Mezclar unidades. Las razones de cambio tienen unidades como pies/s o cm³/s. Si una está en minutos y otra en segundos, convierte antes de sustituir.

Referencia rápida

Gana confianza con la práctica

Las razones de cambio relacionadas solo parecen difíciles hasta que el método se vuelve un hábito: dibujo, ecuación, derivar y luego sustituir. La lección interactiva de abajo divide cada problema en esos pasos y te da retroalimentación al instante, para que aprendas a detectar una sustitución prematura o una razón de cambio olvidada antes de que te cueste puntos en un examen.