Regla de L'Hôpital: fórmula, condiciones y ejemplos
La regla de L'Hôpital calcula límites 0/0 e ∞/∞ derivando el numerador y el denominador. Las condiciones exactas, ejemplos resueltos y otras indeterminaciones.
Leyes de los límites Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Se aplica a
- Límites con la indeterminación \frac{0}{0} o \frac{\pm\infty}{\pm\infty}
- En palabras
- Deriva el numerador y el denominador por separado y vuelve a calcular el límite
- También exige
- Que el nuevo límite \lim \frac{f'(x)}{g'(x)} exista o sea \pm\infty
- Funciona con
- x \to a, límites laterales y x \to \pm\infty
- Otras indeterminaciones
- 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^\infty, 0^0, \infty^0 después de reescribirlas
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La regla de L'Hôpital calcula límites de fracciones que dan \frac{0}{0} o \frac{\infty}{\infty}. En lugar de la fracción original, calculas el límite de la derivada del numerador entre la derivada del denominador. Suele ser el camino más rápido para un límite que el álgebra no simplifica con facilidad.
La regla y sus condiciones
Supón que f y g son derivables en un intervalo abierto alrededor de a (salvo quizá en a), y que g'(x) \ne 0 ahí para x \ne a. Si
entonces
siempre que el límite de la derecha exista o sea \pm\infty. Lo mismo vale para los límites laterales y para x \to \infty o x \to -\infty.
Si el límite de la derecha no existe, la regla no dice nada. El límite original puede existir de todos modos.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: \frac{0}{0}. En x = 0, \frac{\sin x}{x} es \frac{0}{0}:
(La derivada de \sin x se demuestra precisamente usando este límite, así que en un curso con demostraciones usarías el teorema del sándwich. Para calcular, el atajo está bien.)
Ejemplo 2: aplicar la regla dos veces. Cada paso sigue siendo \frac{0}{0} hasta el último:
Ejemplo 3: \frac{\infty}{\infty}. Cuando x \to \infty, tanto \ln x como x crecen sin límite:
Así que x crece más rápido que \ln x.
Ejemplo 4: 0 \cdot \infty. Primero reescribe el producto como una fracción. Cuando x \to 0^+, x \ln x tiene la forma 0 \cdot (-\infty):
Otras indeterminaciones
| Forma | Cómo reescribirla |
|---|---|
| 0 \cdot \infty | Escribe fg como \frac{f}{1/g} o \frac{g}{1/f} |
| \infty - \infty | Combínala en una sola fracción (denominador común o conjugado) |
| 1^\infty, 0^0, \infty^0 | Sea y = f^g, toma \ln y = g \ln f, calcula ese límite y luego aplica la exponencial |
Por ejemplo, con y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x obtienes \ln y = \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}, que es \frac{0}{0} cuando x \to \infty. La regla da \ln y \to 1, así que y \to e.
Errores comunes
- Usar la regla cuando la forma no es indeterminada. \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2} por sustitución directa. Derivar daría, erróneamente, 1.
- Usar la regla del cociente. Deriva f y g por separado. No calcules la derivada de \frac{f}{g} con la regla del cociente.
- Saltarse la reescritura. La regla solo se aplica a una fracción. Convierte primero los productos, las diferencias y las potencias en una fracción.
- No volver a comprobar la forma. Antes de cada nueva aplicación, confirma que el nuevo límite sigue siendo \frac{0}{0} o \frac{\infty}{\infty}.
Para ver más ejemplos, incluidos límites al infinito e indeterminaciones exponenciales, lee la guía completa de la regla de L'Hôpital.
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