Regla del cociente para derivadas: fórmula, truco y ejemplos
La regla del cociente: (f/g)' = (f'g − fg')/g². La fórmula, un truco para recordarla, ejemplos resueltos, cuándo evitarla y errores comunes.
Reglas de derivación Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Se aplica a
- Un cociente de dos funciones derivables, siempre que g(x) \ne 0
- En palabras
- Derivada del de arriba por el de abajo, menos el de arriba por la derivada del de abajo, entre el de abajo al cuadrado
- ¿Importa el orden?
- Sí, el numerador tiene una resta, así que empieza por f'g
- Evítala cuando
- El denominador es una constante o una sola potencia de x
- Se deduce de
- La regla del producto y la regla de la cadena aplicadas a f \cdot g^{-1}
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La regla del cociente calcula la derivada de una función dividida entre otra. Igual que la regla del producto, no es lo que uno esperaría a primera vista: la derivada de \frac{f}{g} no es \frac{f'}{g'}. El numerador tiene una resta, así que el orden de los términos importa.
Fórmula de la regla del cociente
Si f y g son derivables y g(x) \ne 0, entonces
El truco clásico, llamando "el de arriba" al numerador y "el de abajo" al denominador:
La derivada del de arriba por el de abajo, menos el de arriba por la derivada del de abajo, entre el de abajo al cuadrado.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una función racional. Para \frac{x^2}{x + 1}, toma f = x^2, f' = 2x, g = x + 1, g' = 1:
Ejemplo 2: simplificar el numerador. Para \frac{3x - 1}{x^2 + 1}:
Ejemplo 3: la derivada de \tan x. Escribe \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}:
Ejemplo 4: una exponencial entre una potencia. Para \frac{e^x}{x}:
Cuándo evitar la regla del cociente
Una fracción no siempre necesita la regla del cociente. Reescribir suele ser más rápido y menos propenso a errores:
| Función | Reescritura | Derivada |
|---|---|---|
| \frac{x^3}{5} | \frac{1}{5}x^3 | \frac{3}{5}x^2 |
| \frac{4}{x^2} | 4x^{-2} | -\frac{8}{x^3} |
| \frac{x^3 + x}{x} | x^2 + 1 (para x \ne 0) | 2x |
| \frac{2}{\sqrt{x}} | 2x^{-1/2} | -x^{-3/2} |
La primera usa la regla del múltiplo constante; las demás usan la regla de la potencia y la regla de la suma.
De dónde sale la regla del cociente
Escribe \frac{f}{g} = f \cdot g^{-1}. La regla del producto y la regla de la cadena dan
Así que, si olvidas la fórmula, siempre puedes recurrir a la regla del producto.
Errores comunes
- Cambiar el orden en el numerador. fg' - f'g da la respuesta correcta con el signo cambiado.
- Olvidar elevar al cuadrado el denominador. Abajo va g^2, no g.
- Dividir las derivadas. \left(\frac{f}{g}\right)' \ne \frac{f'}{g'}.
- Desarrollar el denominador. Deja (x+1)^2 factorizado. Así la respuesta queda más simple y es fácil ver los ceros y los cambios de signo.
- Confundirla con la regla de L'Hôpital. La regla de L'Hôpital deriva el numerador y el denominador por separado para calcular un límite. La regla del cociente calcula una derivada.
Para una explicación más larga de ambas reglas juntas, lee la guía completa sobre las reglas del producto y del cociente.
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La regla del cociente
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