Continuidade em cálculo: definição, descontinuidades e o TVI
Aprenda as três condições de continuidade, como classificar descontinuidades removíveis, de salto e infinitas, e como usar o Teorema do Valor Intermediário.
Pela equipe do PracticeCalculus Publicado 8 min de leitura
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De forma informal, uma função contínua é aquela que você consegue desenhar sem tirar o lápis do papel. Essa imagem é um ótimo começo, mas as questões de prova pedem que você prove a continuidade, encontre o valor de k que torna uma função contínua ou classifique uma descontinuidade pelo tipo. Para isso você precisa da definição precisa, e ela se resume a três verificações curtas.
A definição de continuidade: três condições
Uma função f é contínua em x = a quando as três condições abaixo valem:
- f(a) está definida.
- \lim_{x \to a} f(x) existe (os limites à esquerda e à direita coincidem).
- O limite é igual ao valor da função:
Em linguagem simples: o gráfico se aproxima de certa altura conforme você chega perto de a, e o ponto em a está exatamente nessa altura.
Uma função é contínua em um intervalo se é contínua em todos os pontos do intervalo (com limites laterais nas extremidades fechadas). Uma função é chamada simplesmente de contínua quando é contínua em todos os pontos do seu domínio.
Quais funções são contínuas?
A boa notícia é que quase todas as funções que você conhece são contínuas onde estão definidas:
- polinômios, em todos os pontos
- funções racionais, em todos os pontos exceto onde o denominador é 0
- \sqrt{x} para x \ge 0, e outras raízes em seus domínios
- \sin x e \cos x em todos os pontos; \tan x exceto nos múltiplos ímpares de \frac{\pi}{2}
- e^x em todos os pontos, e \ln x para x > 0
Somas, diferenças, produtos, quocientes (onde o denominador não é 0) e composições de funções contínuas também são contínuas. Então, na prática, as descontinuidades aparecem em poucos lugares: zeros de denominadores, pontos de quebra de funções definidas por partes e bordas do domínio.
Tipos de descontinuidade
Quando uma das três condições falha, a forma como ela falha indica o tipo de descontinuidade.
| Tipo | O que o gráfico mostra | Limite em a | Condição que falha |
|---|---|---|---|
| Removível | Um buraco (talvez com um ponto solto em outra altura) | Existe | 1 ou 3 |
| De salto | O gráfico salta entre duas alturas | Não existe (os lados discordam) | 2 |
| Infinita | Uma assíntota vertical | Não existe (ilimitado) | 2 |
| Oscilante | Oscilação sem fim, como \sin(1/x) em 0 | Não existe | 2 |
As descontinuidades removíveis são as únicas que você pode consertar mudando um único ponto. As outras são chamadas de não removíveis (ou essenciais, em alguns livros).
Descontinuidades removível e infinita no mesmo gráfico
Considere
Fatore o numerador e o denominador:
O denominador é 0 em x = 2 e em x = -1, então f é descontínua nos dois pontos. Mas são tipos diferentes.
- Em x = 2, o fator (x - 2) se cancela. Para x \neq 2, f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}, então \lim_{x \to 2} f(x) = \frac{4}{3}. O limite existe, mas f(2) não: uma descontinuidade removível, um buraco em \left(2, \frac{4}{3}\right).
- Em x = -1, o fator (x + 1) continua no denominador enquanto o numerador x + 2 se aproxima de 1, um valor diferente de zero. A função explode: uma descontinuidade infinita, uma assíntota vertical x = -1.
Dica: numa função racional, fatore tudo. Fatores que se cancelam geram buracos. Fatores que sobram no denominador geram assíntotas verticais.
Descontinuidades de salto
Os saltos vêm de funções definidas por partes (e de expressões como \frac{|x|}{x}). Aqui está um exemplo:
O limite à esquerda em 1 é 1^2 = 1 e o limite à direita é 1 + 2 = 3. Os dois existem, mas não coincidem, então o gráfico salta da altura 1 para a altura 3.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: verificando as três condições
A função h(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & x \neq 3 \\ 5 & x = 3 \end{cases} é contínua em x = 3?
Passo 1. h(3) está definida? Sim, h(3) = 5.
Passo 2. O limite existe? Para x \neq 3, \frac{x^2-9}{x-3} = x + 3, então \lim_{x \to 3} h(x) = 6.
Passo 3. São iguais? 6 \neq 5. A condição 3 falha.
Conclusão. h tem uma descontinuidade removível em x = 3. Redefinir h(3) = 6 a tornaria contínua.
Exemplo 2: encontrando k para tornar contínua uma função definida por partes
Encontre k de modo que f(x) = \begin{cases} kx + 1 & x < 2 \\ x^2 & x \geq 2 \end{cases} seja contínua em todos os pontos.
Passo 1. Identifique o único ponto de risco. Cada parte é um polinômio, então o único problema possível é a quebra em x = 2.
Passo 2. Calcule cada lado. À esquerda: \lim_{x \to 2^-} (kx + 1) = 2k + 1. À direita: \lim_{x \to 2^+} x^2 = 4. Valor da função: f(2) = 4.
Passo 3. Iguale e resolva.
Verificação. Com k = \frac{3}{2}, a parte da esquerda dá \frac{3}{2}(2) + 1 = 4. Os dois lados se encontram na altura 4.
Exemplo 3: classificando uma descontinuidade
Classifique a descontinuidade de p(x) = \frac{x + 5}{x^2 - 25} em x = 5 e em x = -5.
Passo 1. Fatore. p(x) = \frac{x + 5}{(x - 5)(x + 5)}.
Passo 2. Em x = -5: o fator (x + 5) se cancela, sobrando \frac{1}{x - 5}, que se aproxima de -\frac{1}{10}. Removível (um buraco em \left(-5, -\frac{1}{10}\right)).
Passo 3. Em x = 5: depois do cancelamento, \frac{1}{x - 5} ainda tem x - 5 no denominador, e o numerador é 1 \neq 0. Descontinuidade infinita, uma assíntota vertical x = 5.
O Teorema do Valor Intermediário (TVI)
A continuidade tem uma consequência poderosa. Se você caminha de forma contínua de uma altura para outra, precisa passar por todas as alturas no meio do caminho.
Teorema do Valor Intermediário. Se f é contínua em [a, b] e N é qualquer número entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um número c em (a, b) com
O uso mais comum é mostrar que uma equação tem solução, tomando N = 0: se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela tem uma raiz ali.
Exemplo 4: provando que existe uma raiz
Mostre que x^3 + x - 1 = 0 tem uma solução entre 0 e 1.
Passo 1. Verifique a continuidade. f(x) = x^3 + x - 1 é um polinômio, então é contínua em [0, 1].
Passo 2. Calcule nas extremidades. f(0) = -1 e f(1) = 1 + 1 - 1 = 1.
Passo 3. Aplique o TVI. 0 está entre -1 e 1, então existe algum c em (0, 1) com f(c) = 0.
O TVI diz que uma raiz existe, não onde ela está. (Aqui ela vale cerca de 0.68.) Repare que ele exige continuidade: \frac{1}{x} é negativa em x = -1 e positiva em x = 1, mas nunca vale 0, porque não é contínua em [-1, 1].
Continuidade e diferenciabilidade
A continuidade é o requisito mínimo para uma função ter derivada. Se f é diferenciável em a, ela precisa ser contínua em a. Um gráfico com buraco, salto ou assíntota não pode ter reta tangente nesse ponto.
A recíproca é falsa. Uma função contínua pode, ainda assim, não ser diferenciável em um ponto:
- Um bico. |x| é contínua em 0, mas sua inclinação é -1 à esquerda e 1 à direita, então não existe uma única inclinação tangente.
- Uma tangente vertical. \sqrt[3]{x} é contínua em 0, mas sua reta tangente ali é vertical, com inclinação indefinida.
- Uma cúspide. x^{2/3} é contínua em 0, mas forma uma ponta afiada.
Então, ao estudar derivadas, lembre a cadeia de implicações: diferenciável implica contínua, mas contínua não implica diferenciável.
Erros comuns com continuidade
- Verificar só o limite. Um limite pode existir enquanto o valor da função não existe ou é diferente. Você precisa verificar as três condições.
- Chamar todo zero do denominador de assíntota. Fatore primeiro. Um fator que se cancela gera um buraco, não uma assíntota.
- Comparar só um lado de uma função definida por partes. No ponto de quebra, compare o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função.
- Usar o TVI sem continuidade. O teorema não diz nada sobre funções com saltos ou assíntotas no intervalo.
- Esperar que o TVI dê o valor de c. Ele só garante que c existe.
Pratique a identificação de descontinuidades
Classificar descontinuidades e resolver para k estão entre as questões de prova mais comuns sobre limites, e as duas seguem uma receita fixa. A lição interativa abaixo traz gráficos e fórmulas para analisar, confere na hora cada condição que você afirma e explica qualquer passo que você deixar passar. A continuidade também prepara você para a próxima grande ideia, a derivada, já que toda função diferenciável é contínua.
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Continuidade
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