Continuidad en cálculo: definición, discontinuidades y el TVI

De manera informal, una función continua es una que puedes dibujar sin levantar el lápiz. Esa imagen es un gran punto de partida, pero las preguntas de examen te piden demostrar la continuidad, hallar el valor de k que hace continua una función o clasificar una discontinuidad según su tipo. Para eso necesitas la definición precisa, y resulta que son solo tres comprobaciones breves.

La definición de continuidad: tres condiciones

Una función f es continua en x = a cuando se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. f(a) está definida.
2. \lim_{x \to a} f(x) existe (los límites por la izquierda y por la derecha coinciden).
3. El límite es igual al valor de la función:

Dicho de forma sencilla: la gráfica se dirige a cierta altura cuando te acercas a a, y el punto en a está justo a esa altura.

Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto del intervalo (con límites laterales en los extremos cerrados). A una función se le llama simplemente continua cuando es continua en cada punto de su dominio.

¿Qué funciones son continuas?

La buena noticia es que casi todas las funciones que conoces son continuas allí donde están definidas:

• los polinomios, en todas partes
• las funciones racionales, en todas partes excepto donde el denominador vale 0
• \sqrt{x} para x \ge 0, y las demás raíces en sus dominios
• \sin x y \cos x en todas partes; \tan x excepto en los múltiplos impares de \frac{\pi}{2}
• e^x en todas partes, y \ln x para x > 0

Las sumas, diferencias, productos, cocientes (donde el denominador no es 0) y composiciones de funciones continuas también son continuas. Así que, en la práctica, las discontinuidades aparecen solo en unos pocos lugares: los ceros de los denominadores, los puntos de corte de las funciones definidas por partes y los bordes de los dominios.

Tipos de discontinuidad

Cuando falla una de las tres condiciones, la forma en que falla te indica el tipo de discontinuidad.

Las discontinuidades evitables son las únicas que puedes arreglar cambiando un solo punto. Las demás se llaman no evitables (o esenciales, en algunos libros).

Discontinuidades evitable e infinita en una misma gráfica

Considera

Factoriza el numerador y el denominador:

El denominador vale 0 en x = 2 y en x = -1, así que f es discontinua en ambos puntos. Pero son de tipos distintos.

• En x = 2, el factor (x - 2) se simplifica. Para x \neq 2, f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}, así que \lim_{x \to 2} f(x) = \frac{4}{3}. El límite existe pero f(2) no: es una discontinuidad evitable, un hueco en \left(2, \frac{4}{3}\right).
• En x = -1, el factor (x + 1) se queda en el denominador mientras el numerador x + 2 tiende a 1, un valor distinto de cero. La función se dispara: es una discontinuidad infinita, una asíntota vertical x = -1.

Consejo: en una función racional, factoriza por completo. Los factores que se simplifican dan huecos. Los factores que quedan en el denominador dan asíntotas verticales.

Discontinuidades de salto

Los saltos vienen de las funciones definidas por partes (y de expresiones como \frac{|x|}{x}). Aquí tienes una:

El límite por la izquierda en 1 es 1^2 = 1 y el límite por la derecha es 1 + 2 = 3. Ambos existen, pero no coinciden, así que la gráfica salta de la altura 1 a la altura 3.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: comprobar las tres condiciones

¿Es h(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & x \neq 3 \\ 5 & x = 3 \end{cases} continua en x = 3?

Paso 1. ¿Está definida h(3)? Sí, h(3) = 5.

Paso 2. ¿Existe el límite? Para x \neq 3, \frac{x^2-9}{x-3} = x + 3, así que \lim_{x \to 3} h(x) = 6.

Paso 3. ¿Son iguales? 6 \neq 5. Falla la condición 3.

Conclusión. h tiene una discontinuidad evitable en x = 3. Redefinir h(3) = 6 la haría continua.

Ejemplo 2: hallar k para que una función por partes sea continua

Halla k para que f(x) = \begin{cases} kx + 1 & x < 2 \\ x^2 & x \geq 2 \end{cases} sea continua en todas partes.

Paso 1. Identifica el único punto problemático. Cada trozo es un polinomio, así que el único problema posible está en el corte en x = 2.

Paso 2. Calcula cada lado. Izquierda: \lim_{x \to 2^-} (kx + 1) = 2k + 1. Derecha: \lim_{x \to 2^+} x^2 = 4. Valor de la función: f(2) = 4.

Paso 3. Iguálalos y despeja.

Comprobación. Con k = \frac{3}{2} el trozo izquierdo da \frac{3}{2}(2) + 1 = 4. Los dos lados se encuentran a la altura 4.

Ejemplo 3: clasificar una discontinuidad

Clasifica la discontinuidad de p(x) = \frac{x + 5}{x^2 - 25} en x = 5 y en x = -5.

Paso 1. Factoriza. p(x) = \frac{x + 5}{(x - 5)(x + 5)}.

Paso 2. En x = -5: el factor (x + 5) se simplifica y queda \frac{1}{x - 5}, que tiende a -\frac{1}{10}. Evitable (un hueco en \left(-5, -\frac{1}{10}\right)).

Paso 3. En x = 5: después de simplificar, \frac{1}{x - 5} sigue teniendo x - 5 en el denominador, y el numerador es 1 \neq 0. Discontinuidad infinita, una asíntota vertical x = 5.

El Teorema del Valor Intermedio (TVI)

La continuidad tiene una consecuencia muy potente. Si caminas de forma continua de una altura a otra, tienes que pasar por todas las alturas intermedias.

Teorema del Valor Intermedio. Si f es continua en [a, b] y N es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un número c en (a, b) con

El uso más habitual es demostrar que una ecuación tiene solución, tomando N = 0: si una función continua cambia de signo en un intervalo, tiene una raíz allí.

Ejemplo 4: demostrar que existe una raíz

Demuestra que x^3 + x - 1 = 0 tiene una solución entre 0 y 1.

Paso 1. Comprueba la continuidad. f(x) = x^3 + x - 1 es un polinomio, así que es continua en [0, 1].

Paso 2. Evalúa los extremos. f(0) = -1 y f(1) = 1 + 1 - 1 = 1.

Paso 3. Aplica el TVI. 0 está entre -1 y 1, así que existe algún c en (0, 1) con f(c) = 0.

El TVI te dice que una raíz existe, no dónde está. (Aquí está en torno a 0.68.) Fíjate en que exige continuidad: \frac{1}{x} es negativa en x = -1 y positiva en x = 1, pero nunca vale 0, porque no es continua en [-1, 1].

Continuidad y derivabilidad

La continuidad es el requisito mínimo para que una función tenga derivada. Si f es derivable en a, tiene que ser continua en a. Una gráfica con un hueco, un salto o una asíntota no puede tener allí una recta tangente.

Lo contrario es falso. Una función continua puede no ser derivable en un punto:

• Un pico (esquina). |x| es continua en 0, pero su pendiente es -1 a la izquierda y 1 a la derecha, así que no hay una única pendiente tangente.
• Una tangente vertical. \sqrt[3]{x} es continua en 0, pero su recta tangente allí es vertical, con pendiente no definida.
• Una cúspide. x^{2/3} es continua en 0 pero termina en una punta afilada.

Así que, cuando estudies derivadas, recuerda la cadena de implicaciones: derivable implica continua, pero continua no implica derivable.

Errores comunes con la continuidad

1. Comprobar solo el límite. Un límite puede existir aunque el valor de la función falte o sea distinto. Tienes que verificar las tres condiciones.
2. Llamar asíntota a cualquier cero del denominador. Factoriza primero. Un factor que se simplifica da un hueco, no una asíntota.
3. Comparar solo un lado de una función definida por partes. En un punto de corte, compara el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función.
4. Usar el TVI sin continuidad. El teorema no dice nada de funciones con saltos o asíntotas en el intervalo.
5. Esperar que el TVI dé el valor de c. Solo garantiza que c existe.

Practica a detectar discontinuidades

Clasificar discontinuidades y despejar k están entre las preguntas de examen más frecuentes sobre límites, y ambas siguen una receta fija. La lección interactiva de abajo te da gráficas y fórmulas para analizar, corrige al instante cada condición que afirmas y explica cualquier paso que se te escape. La continuidad también te prepara para la siguiente gran idea, la derivada, ya que toda función derivable es continua.