Integração por partes: fórmula, LIATE e exemplos resolvidos

A substituição resolve \int 2x e^{x^2}\,dx com facilidade. Mas troque para \int x e^x\,dx e nenhuma substituição ajuda, porque os dois fatores não têm nada a ver um com o outro. A integração por partes foi feita exatamente para essa situação: um produto de dois tipos diferentes de função.

O que é integração por partes?

A integração por partes é a regra do produto ao contrário. A regra do produto diz que (uv)' = u'v + uv'. Integre os dois lados, reorganize, e você obtém a fórmula da integração por partes:

Aqui u é uma função que você vai derivar (para obter du), e dv é a parte que você vai integrar (para obter v). A fórmula troca a integral original \int u\,dv por uma nova, \int v\,du. O jogo todo é escolher u e dv de modo que a nova integral seja mais fácil.

Para integrais definidas, a mesma fórmula fica

Quando usar integração por partes

Recorra a partes depois de descartar uma substituição (mudança de variável) mais simples. Bons sinais de que partes é a ferramenta certa:

• O integrando é um produto de dois tipos diferentes de função, como um polinômio vezes uma exponencial ou um polinômio vezes uma função trigonométrica.
• O integrando é uma única função fácil de derivar, mas difícil de integrar, como \ln x, \arctan x ou \arcsin x.
• Nenhum fator é a derivada de algo dentro do outro. (Se fosse, a substituição funcionaria.)

Como escolher u: a regra LIATE

Um bom u fica mais simples quando derivado, e um bom dv precisa ser algo que você consiga integrar. A regra LIATE ordena os tipos de função. Escolha como u o fator que aparecer primeiro:

Por que essa ordem? Logaritmos e funções trigonométricas inversas são difíceis de integrar, mas têm derivadas simples, então pertencem a u. Exponenciais e senos são tão fáceis de integrar quanto de derivar, então são um dv natural.

Dica: o LIATE é uma orientação forte, não uma lei. Se a sua escolha deixar a nova integral pior, troque u e dv e tente de novo.

Exemplo resolvido 1: x vezes e^x

Calcule \int x e^x\,dx.

Passo 1. Escolha u e dv. Algébrica vem antes de exponencial, então u = x e dv = e^x\,dx.

Passo 2. Calcule du e v. du = dx e v = e^x.

Passo 3. Aplique a fórmula.

Passo 4. Termine a integral mais fácil.

Verificação: a derivada de e^x(x-1) é e^x(x-1) + e^x = x e^x. Correto.

Se você tivesse escolhido u = e^x e dv = x\,dx, a nova integral seria \int \tfrac{x^2}{2}e^x\,dx, que é pior. É o LIATE salvando você.

Exemplo resolvido 2: x vezes cos x

Calcule \int x\cos x\,dx.

Passo 1. u = x (algébrica), dv = \cos x\,dx (trigonométrica).

Passo 2. du = dx, v = \sin x.

Passo 3.

Atenção ao sinal: \int \sin x\,dx = -\cos x, e subtrair isso dá +\cos x.

Exemplo resolvido 3: a integral de ln x

Calcule \int \ln x\,dx.

Parece haver um único fator, mas você sempre pode escrever dv = dx.

Passo 1. u = \ln x, dv = dx.

Passo 2. du = \frac1x\,dx, v = x.

Passo 3.

O mesmo truque resolve \int \arctan x\,dx. Com u = \arctan x e dv = dx, você obtém x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx, e uma substituição rápida termina o trabalho:

Exemplo resolvido 4: uma integral definida

Calcule \int_1^e \ln x\,dx.

Usando a antiderivada do exemplo 3:

O método tabular para integração por partes repetida

Quando u é um polinômio como x^3, você precisaria aplicar partes três vezes, reduzindo a potência em um a cada vez. O método tabular (às vezes chamado de método DI) faz todas as rodadas de uma vez.

1. Na coluna da esquerda, escreva u e continue derivando até chegar a 0.
2. Na coluna da direita, escreva dv e continue integrando, uma linha para cada derivada.
3. Trace diagonais de cada entrada da esquerda até a entrada da direita uma linha abaixo, com sinais alternados +, -, +, -, \dots
4. Some os produtos das diagonais.

Exemplo resolvido 5: método tabular para x³ sen x

Calcule \int x^3\sin x\,dx.

Multiplique cada entrada da esquerda pela entrada da direita uma linha abaixo, usando o sinal da sua linha:

Verificação: derivando, obtemos -3x^2\cos x + x^3\sin x + 6x\sin x + 3x^2\cos x + 6\cos x - 6x\sin x - 6\cos x = x^3\sin x. Todo o resto se cancela.

O método tabular funciona bem sempre que u acaba virando zero ao ser derivado e dv é fácil de integrar várias vezes seguidas, ou seja, polinômio vezes e^{ax}, \sin(ax) ou \cos(ax).

O caso do ciclo: e^x sen x

Algumas integrais nunca se reduzem a zero. Em vez disso, depois de duas rodadas de partes, a integral original volta. Isso não é um beco sem saída. É a solução.

Exemplo resolvido 6: integre e^x sen x

Calcule I = \int e^x\sin x\,dx.

Passo 1. Primeira rodada. Seja u = \sin x, dv = e^x\,dx. Então du = \cos x\,dx, v = e^x:

Passo 2. Segunda rodada, mesmo padrão. Na nova integral, seja u = \cos x, dv = e^x\,dx. Então du = -\sin x\,dx, v = e^x:

Passo 3. Substitua de volta.

Passo 4. Resolva para I. Some I aos dois lados: 2I = e^x(\sin x - \cos x), então

Verificação: a derivada é \tfrac12\left[e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x)\right] = \tfrac12\cdot 2e^x\sin x = e^x\sin x.

Dica: na segunda rodada, mantenha o mesmo tipo de função como u (trigonométrica nas duas vezes). Se você trocar e escolher u = e^x, vai desfazer o primeiro passo e acabar com I = I.

Erros comuns na integração por partes

1. Escolher u ao contrário. Fazer u = e^x em \int x e^x\,dx deixa a integral mais difícil. Siga o LIATE.
2. Erros de sinal. A fórmula tem um sinal de menos, e \int\sin x\,dx = -\cos x acrescenta outro. A maioria das respostas erradas vem daqui.
3. Esquecer o v no termo uv. É uv, e não u\,dv.
4. Esquecer a alternância de sinais no método tabular. Uma diagonal sim, outra não, é negativa.
5. Trocar de tipo no ciclo. Em \int e^x\sin x\,dx, mantenha a trigonométrica como u nas duas vezes.
6. Esquecer o +C ou esquecer de calcular uv nos dois limites numa integral definida.

Referência rápida

Pratique até o LIATE ficar automático

A integração por partes recompensa a repetição mais do que qualquer outra técnica: a fórmula é curta, mas escolher bem o u e manter os sinais corretos só se torna natural com prática. A lição interativa abaixo dá feedback imediato em cada passo, para você pegar um sinal trocado antes que ele vire hábito.