Partielle Integration: Formel, LIATE-Regel und Rechenbeispiele

Die Substitutionsregel erledigt \int 2x e^{x^2}\,dx mühelos. Ändere es aber zu \int x e^x\,dx, und keine Substitution hilft, weil die beiden Faktoren nichts miteinander zu tun haben. Die partielle Integration ist genau für diese Situation gemacht: ein Produkt aus zwei verschiedenen Arten von Funktionen.

Was ist partielle Integration?

Die partielle Integration ist die umgekehrte Produktregel. Die Produktregel besagt (uv)' = u'v + uv'. Integriere beide Seiten, stelle um, und du erhältst die Formel der partiellen Integration:

Dabei ist u eine Funktion, die du ableitest (um du zu erhalten), und dv der Teil, den du integrierst (um v zu erhalten). Die Formel tauscht das ursprüngliche Integral \int u\,dv gegen ein neues, \int v\,du. Die ganze Kunst besteht darin, u und dv so zu wählen, dass das neue Integral einfacher ist.

Für bestimmte Integrale lautet dieselbe Formel

Wann man partiell integriert

Greif zur partiellen Integration, nachdem du eine einfachere Substitution ausgeschlossen hast. Gute Anzeichen dafür, dass die partielle Integration das richtige Werkzeug ist:

• Der Integrand ist ein Produkt aus zwei verschiedenen Arten von Funktionen, etwa ein Polynom mal eine Exponentialfunktion oder ein Polynom mal eine trigonometrische Funktion.
• Der Integrand ist eine einzelne Funktion, die sich leicht ableiten, aber schwer integrieren lässt, etwa \ln x, \arctan x oder \arcsin x.
• Keiner der Faktoren ist die Ableitung von etwas im anderen. (Wäre es so, würde die Substitution funktionieren.)

So wählst du u: die LIATE-Regel

Ein gutes u wird beim Ableiten einfacher, und ein gutes dv muss etwas sein, das du integrieren kannst. Die LIATE-Regel ordnet Funktionstypen. Wähle als u den Faktor, der zuerst kommt:

Warum diese Reihenfolge? Logarithmen und Arkusfunktionen sind schwer zu integrieren, haben aber einfache Ableitungen, sie gehören also in u. Exponentialfunktionen und Sinusfunktionen lassen sich genauso leicht integrieren wie ableiten, sie eignen sich daher natürlich als dv.

Tipp: LIATE ist eine starke Richtlinie, kein Gesetz. Macht deine Wahl das neue Integral schwieriger, tausche u und dv und versuche es noch einmal.

Rechenbeispiel 1: x mal e^x

Berechne \int x e^x\,dx.

Schritt 1. u und dv wählen. Algebraisch kommt vor exponentiell, also u = x und dv = e^x\,dx.

Schritt 2. du und v berechnen. du = dx und v = e^x.

Schritt 3. Die Formel anwenden.

Schritt 4. Das einfachere Integral lösen.

Probe: Die Ableitung von e^x(x-1) ist e^x(x-1) + e^x = x e^x. Richtig.

Hättest du stattdessen u = e^x und dv = x\,dx gewählt, wäre das neue Integral \int \tfrac{x^2}{2}e^x\,dx, und das ist schlimmer. Hier rettet dich LIATE.

Rechenbeispiel 2: x mal cos x

Berechne \int x\cos x\,dx.

Schritt 1. u = x (algebraisch), dv = \cos x\,dx (trigonometrisch).

Schritt 2. du = dx, v = \sin x.

Schritt 3.

Achte auf das Vorzeichen: \int \sin x\,dx = -\cos x, und wenn du das subtrahierst, ergibt sich +\cos x.

Rechenbeispiel 3: das Integral von ln x

Berechne \int \ln x\,dx.

Es scheint nur einen Faktor zu geben, aber du kannst immer dv = dx setzen.

Schritt 1. u = \ln x, dv = dx.

Schritt 2. du = \frac1x\,dx, v = x.

Schritt 3.

Derselbe Trick hilft bei \int \arctan x\,dx. Mit u = \arctan x und dv = dx erhältst du x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx, und eine schnelle Substitution erledigt den Rest:

Rechenbeispiel 4: ein bestimmtes Integral

Berechne \int_1^e \ln x\,dx.

Mit der Stammfunktion aus Beispiel 3:

Die Tabellenmethode für wiederholte partielle Integration

Ist u ein Polynom wie x^3, müsstest du dreimal partiell integrieren und jedes Mal den Exponenten um eins senken. Die Tabellenmethode (manchmal auch DI-Methode genannt) erledigt alle Runden auf einmal.

1. Schreib in die linke Spalte u und leite ab, bis du bei 0 ankommst.
2. Schreib in die rechte Spalte dv und integriere weiter, eine Zeile pro Ableitung.
3. Zieh Diagonalen von jedem linken Eintrag zum rechten Eintrag eine Zeile tiefer, mit abwechselnden Vorzeichen +, -, +, -, \dots
4. Addiere die Produkte entlang der Diagonalen.

Rechenbeispiel 5: Tabellenmethode für x³ sin x

Berechne \int x^3\sin x\,dx.

Multipliziere jeden linken Eintrag mit dem rechten Eintrag eine Zeile darunter und verwende das Vorzeichen seiner Zeile:

Probe: Ableiten ergibt -3x^2\cos x + x^3\sin x + 6x\sin x + 3x^2\cos x + 6\cos x - 6x\sin x - 6\cos x = x^3\sin x. Alles andere hebt sich auf.

Die Tabellenmethode funktioniert reibungslos, wann immer u beim Ableiten irgendwann null wird und sich dv immer wieder leicht integrieren lässt, also bei einem Polynom mal e^{ax}, \sin(ax) oder \cos(ax).

Der Fall mit Schleife: e^x sin x

Manche Integrale werden nie zu null. Stattdessen kehrt nach zwei Runden das ursprüngliche Integral zurück. Das ist keine Sackgasse. Es ist die Lösung.

Rechenbeispiel 6: e^x sin x integrieren

Berechne I = \int e^x\sin x\,dx.

Schritt 1. Erste Runde. Sei u = \sin x, dv = e^x\,dx. Dann ist du = \cos x\,dx, v = e^x:

Schritt 2. Zweite Runde, gleiches Muster. Im neuen Integral sei u = \cos x, dv = e^x\,dx. Dann ist du = -\sin x\,dx, v = e^x:

Schritt 3. Zurück einsetzen.

Schritt 4. Nach I auflösen. Addiere auf beiden Seiten I: 2I = e^x(\sin x - \cos x), also

Probe: Die Ableitung ist \tfrac12\left[e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x)\right] = \tfrac12\cdot 2e^x\sin x = e^x\sin x.

Tipp: Behalte in der zweiten Runde denselben Funktionstyp als u (beide Male trigonometrisch). Wechselst du und wählst u = e^x, machst du den ersten Schritt rückgängig und landest bei I = I.

Typische Fehler bei der partiellen Integration

1. u verkehrt herum wählen. Mit u = e^x wird \int x e^x\,dx schwieriger. Halte dich an LIATE.
2. Vorzeichenfehler. Die Formel hat ein Minuszeichen, und \int\sin x\,dx = -\cos x fügt noch eins hinzu. Die meisten falschen Antworten entstehen hier.
3. Das v im Term uv vergessen. Es heißt uv, nicht u\,dv.
4. Die abwechselnden Vorzeichen der Tabellenmethode übersehen. Jede zweite Diagonale ist negativ.
5. In der Schleife den Typ wechseln. Bleib bei \int e^x\sin x\,dx beide Male bei der trigonometrischen Funktion als u.
6. Das +C weglassen oder bei einem bestimmten Integral vergessen, uv an beiden Grenzen auszuwerten.

Kurzübersicht

Üben, bis LIATE automatisch sitzt

Die partielle Integration belohnt Wiederholung mehr als jede andere Technik: Die Formel ist kurz, aber u gut zu wählen und die Vorzeichen im Griff zu behalten wird erst durch Übung zur zweiten Natur. Die interaktive Lektion unten gibt dir zu jedem Schritt sofort Rückmeldung, sodass du ein vertauschtes Vorzeichen bemerkst, bevor es zur Gewohnheit wird.